Module
Critères de convergence des séries à termes positifs
- Domaine
- Analyse
Majoration des sommes partielles
Propriété Croissance des sommes partielles d’une série à termes positifs
Soit \(\sum_{n\geq n_0}u_n\), une série à termes positifs.
Alors la suite \((S_n)\) des sommes partielles de la série est croissante.
Caractérisation Convergence et majoration des sommes partielles
Soit \(\sum_{n\geq n_0}u_n\), une série à termes positifs.
La série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
Remarques Remarques
Remarque Divergence vers \(+\infty\) des sommes partielles
Avec les mêmes hypothèses, la série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) diverge si et seulement si \(\lim_{n\to+\infty}S_n=+\infty\).
Remarque Application à la série harmonique
Une application classique.
Exemple résolu Comportement des sommes partielles de la série harmonique réservé aux comptes
Critère de comparaison
Théorème Critère de comparaison des séries à termes positifs
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\), deux séries à termes positifs telles que l’on ait, à partir d’un certain rang, \(0\leq u_n\leq v_n\).
Si la série \(\sum v_n\) converge alors la série \(\sum u_n\) converge.
Si la série \(\sum u_n\) diverge alors la série \(\sum v_n\) diverge.
Remarques Remarques
Remarque Comparaison des sommes de séries convergentes
Si \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont deux séries convergentes à termes positifs avec \(\forall n\geq n_0,\ 0\leq u_n\leq v_n\), alors on a :
Remarque Cas sans conclusion
Il existe deux cas où on ne peut rien dire.
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\), deux séries à termes positifs telles que l’on ait, à partir d’un certain rang, \(0\leq u_n\leq v_n\).
Si la série \(\sum u_n\) converge alors on ne peut rien dire pour la série \(\sum v_n\).
Si la série \(\sum v_n\) diverge alors on ne peut rien dire pour la série \(\sum u_n\).
Corollaire Critère de convergence de la série de Riemann
Soit \(\alpha\in\mathbb{R}\). La série \(\sum\frac{1}{n^\alpha}\) converge si et seulement si \(\alpha>1\).
Cette série est appelée série de Riemann.
Remarques Remarques
Remarque Divergence de la série de Riemann
Par contraposition, la série \(\sum\frac{1}{n^\alpha}\) diverge si et seulement si \(\alpha\leq1\).
Exemple résolu Série comparée à une série de Riemann de paramètre un demi réservé aux comptes
Exemple résolu Série comparée à une série de Riemann de paramètre alpha réservé aux comptes
Exemple résolu Série à termes oscillants sur un dénominateur quadratique réservé aux comptes
Critère d’équivalence
Corollaire Critère d’équivalence des séries à termes positifs
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\), deux séries à termes positifs.
Si \(u_n\sim v_n\) alors \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\) sont de même nature.
Exemple résolu Limite du critère d’équivalence hors termes positifs réservé aux comptes
Exemple résolu Série de puissance de \(n\) à exposant variable réservé aux comptes
Exemple résolu Série inverse de \(n^2+\ln n\) réservé aux comptes
Exemple résolu Série quotient de polynômes de degrés un et trois réservé aux comptes
Exemple résolu Série quotient de sommes de puissances réservé aux comptes
Exemple résolu Série de \(1-\cos\left(\frac{1}{n}\right)\) réservé aux comptes
Exemple résolu Série produit de sinus réservé aux comptes
Critère de négligeabilité
Corollaire Critère de négligeabilité des séries à termes positifs
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\), deux séries à termes positifs telles que l’on ait : \(u_n=o(v_n)\).
Si la série \(\sum v_n\) converge alors la série \(\sum u_n\) converge.
Si la série \(\sum u_n\) diverge alors la série \(\sum v_n\) diverge.
Remarques Remarques
Remarque Cas sans conclusion
Soient \(\sum u_n\) et \(\sum v_n\), deux séries à termes positifs telles que l’on ait \(u_n=o(v_n)\).
Si la série \(\sum u_n\) converge alors on ne peut rien dire pour la série \(\sum v_n\).
Si la série \(\sum v_n\) diverge alors on ne peut rien dire pour la série \(\sum u_n\).
Remarque Choix d’une série de référence pour la convergence
Pour montrer que la série à termes positifs \(\sum u_n\) converge, on choisit « judicieusement » un réel \(\alpha>1\) tel que l’on ait :
Remarque Choix d’une série de référence pour la divergence
Pour montrer que la série à termes positifs \(\sum u_n\) diverge, on choisit « judicieusement » un réel \(\alpha\leq1\) tel que l’on ait :
Exemple résolu Série produit de puissance et d’exponentielle réservé aux comptes
Exemple résolu Série exponentielle à exposant quadratique réservé aux comptes
Exemple résolu Série logarithme sur puissance quatre réservé aux comptes
Exemple résolu Série inverse de \(n^2\ln n\) réservé aux comptes
Exemple résolu Série inverse du carré du logarithme réservé aux comptes
Exemple résolu Série quotient d’un affine par \(n\ln n\) réservé aux comptes
Exemple résolu Série à terme oscillant sur dénominateur exponentiel réservé aux comptes
Comparaison à une série géométrique et règle de d’Alembert
Théorème Comparaison à une série géométrique
Soit \(\sum u_n\) une série à termes réels strictement positifs.
S’il existe un réel \(a\in[0,1[\) et un entier naturel \(n_0\) tels que, pour tout \(n\geq n_0\), \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\leq a<1\), alors la série \(\sum u_n\) converge.
S’il existe un entier naturel \(n_0\) tel que, pour tout \(n\geq n_0\), \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\geq1\), alors la série \(\sum u_n\) diverge grossièrement.
Théorème Règle de d’Alembert
Soit \(\sum u_n\) une série à termes réels strictement positifs.
On suppose que \(\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=l\in[0,+\infty]\).
Si \(0\leq l<1\), alors la série \(\sum u_n\) converge.
Si \(l>1\), alors la série \(\sum u_n\) diverge grossièrement.
Si \(l=1\), on doit trouver une autre méthode pour déterminer la nature de \(\sum u_n\).
Remarques Remarques
Remarque Valeurs possibles de la limite du quotient
Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n>0\) implique \(l\geq0\) ou \(l=+\infty\).
Remarque Cas où la limite vaut \(1\)
Pour \(u_n=\frac{1}{n}\), la série \(\sum u_n\) diverge et \(\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}=1\).
Pour \(v_n=\frac{1}{n^2}\), la série \(\sum v_n\) converge et \(\lim_{n\to+\infty}\frac{v_{n+1}}{v_n}=1\).
Exemple résolu Étude d’une série de terme polynomial sur une factorielle réservé aux comptes
Exemple résolu Étude d’une série de factorielles réservé aux comptes
Explication Portée des critères pour les séries à termes positifs
Dans ce paragraphe, on considère des séries à termes positifs.
Les énoncés présents dans ce paragraphe peuvent aussi s’appliquer :
aux séries dont le terme général est de signe constant puisque les séries \(\sum u_n\) et \(\sum(-u_n)\) sont de même nature ;
aux séries dont les termes ne sont pas tous positifs : on pourra utiliser les méthodes présentées ci-dessous pour montrer que la série \(\sum\lvert u_n\rvert\) converge.