Cours
Relations de comparaison locale
Plan
1 Fonction négligeable devant une autre
2 Fonctions équivalentes
3 Comparaison des suites
Objectifs
Fonction négligeable devant une autre
Maîtrise de la négligeabilité des fonctions
Définition, notation et caractérisation
Connaître et comprendre la définition, la notation et la caractérisation d’une fonction négligeable devant une autre.
Connaître, définir · Généralités
Démonstration d’une négligeabilité
Savoir démontrer qu’une fonction est négligeable devant une autre au voisinage de \(a\).
Appliquer · Négligeabilité d’une fonction devant une autre, Caractérisation par le quotient
Négligeabilités usuelles
Connaître les négligeabilités usuelles.
Connaître · Exemples et négligeabilités usuelles
Égalités avec petit o
Comprendre et savoir écrire des égalités du genre \(f=o_a(1)\), \(o_0(x)-o_0(x)=o_0(x)\), \(x^2o_{+\infty}(x)=o_{+\infty}(x^3)\), …
Fonctions équivalentes
Maîtrise des fonctions équivalentes
Définition, notation et caractérisation
Connaître et comprendre la définition, la notation et la caractérisation de fonctions équivalentes.
Connaître, définir · Généralités
Équivalence et négligeabilité de la différence
Savoir que deux fonctions sont équivalentes au voisinage de \(a\) revient à dire que leur différence est négligeable devant l’une d’elles : \(f\sim_a g\Longleftrightarrow f-g=o_a(g)\).
Connaître · Équivalence et négligeabilité de la différence
Formulation additive de l’équivalence
Savoir écrire \(u+v\sim_a u\) si et seulement si \(v=o_a(u)\).
Signe et limite
Connaître les propriétés conservées par équivalence : signe, limite.
Connaître · Conservation du signe par équivalence, Conservation des limites par équivalence
Équivalents usuels
Connaître les équivalents usuels.
Connaître · Équivalents usuels
Opérations sur les fonctions équivalentes
Connaître les opérations sur les fonctions équivalentes.
Connaître · Opérations sur les fonctions équivalentes, Restrictions et développement binomial
Démonstration d’une équivalence
Savoir démontrer que deux fonctions sont équivalentes au voisinage de \(a\). Il y a plusieurs méthodes selon le cas …
Appliquer · Généralités
Utilisation des équivalents usuels
Savoir utiliser les équivalents usuels pour déterminer une limite d’une fonction.
Utiliser, déterminer · Équivalents usuels, Détermination d’un équivalent
Comparaison des suites
Maîtrise de la comparaison des suites
Définitions, notations, caractérisations et propriétés
Connaître les définitions, les notations, les caractérisations et les propriétés.
Connaître, définir · Comparaison des suites
Démonstration de la négligeabilité d’une suite
Savoir démontrer qu’une suite est négligeable devant une autre.
Appliquer · Suite négligeable devant une autre
Équivalence et négligeabilité de la différence
Savoir que deux suites sont équivalentes revient à dire que leur différence est négligeable devant l’une d’elles : \(u_n\sim_{+\infty}v_n\Longleftrightarrow u_n-v_n=o_{+\infty}(v_n)\).
Connaître · Équivalence et négligeabilité de la différence
Formulation additive de l’équivalence
Savoir écrire \(u_n+v_n\sim_{+\infty}u_n\) si et seulement si \(v_n=o_{+\infty}(u_n)\).
Exprimer · Formulation additive de l’équivalence
Équivalents usuels
Connaître les équivalents usuels.
Connaître · Équivalents usuels pour les suites
Opérations sur les suites équivalentes
Connaître les opérations sur les suites équivalentes.
Connaître · Symétrie, transitivité, produit, puissance et quotient, Remarques
Démonstration d’une équivalence
Savoir démontrer que deux suites sont équivalentes. Il y a plusieurs méthodes selon le cas …
Appliquer · Suites équivalentes
Signe et limite
Connaître les propriétés conservées par équivalence : signe, limite.
Connaître · Conservation des limites et du signe
Utilisation des équivalents usuels
Savoir utiliser les équivalents usuels pour déterminer une limite d’une suite.
Utiliser, déterminer · Équivalents usuels pour les suites, Conservation des limites et du signe