Kernevia
Compte

Module

Fonctions équivalentes

Domaine
Analyse
Prérequis
Fonction négligeable devant une autre
Notations
Ensemble des réels achevés, Intervalle de définition, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Généralités

Définition Équivalence de deux fonctions

Soient \(f\) et \(g\) définies sur \(I\), ne s’annulant pas sur \(I\)\(\setminus\{a\}\).

On dit que \(f\) est équivalente à \(g\) au voisinage de \(a\) s’il existe une fonction \(h\) telle que l’on ait, au voisinage de \(a\),

\[f=gh\quad\text{avec}\quad\lim_a h=1\]
\[f\sim_a g\]

Caractérisation Caractérisation par le quotient

\[f\sim_a g\Longleftrightarrow\lim_a\frac{f}{g}=1\]

Remarque Symétrie de l’équivalence

\[f\sim_a g\Longleftrightarrow g\sim_a f\]

Propriété Équivalence et négligeabilité de la différence

\[f\sim_a g\Longleftrightarrow f-g=o_a(g)\Longleftrightarrow f=g+o_a(g)\]
\[u+v\sim_a u\Longleftrightarrow v=o_a(u)\]

Application de la caractérisation

Exercice Détermination de trois équivalents réservé aux comptes

Équivalents de fonctions polynomiales

Propriété Équivalent d’une fonction polynomiale au voisinage de zéro

Une fonction polynomiale non nulle est équivalente, au voisinage de \(0\), à son monôme de plus bas degré.

Propriété Équivalent d’une fonction polynomiale au voisinage de l’infini

Une fonction polynomiale non nulle est équivalente, au voisinage de l’infini, à son monôme de plus haut degré.

Propriétés

Propriété Conservation des limites par équivalence

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions équivalentes au voisinage de \(a\).

Si \(g\) a une limite finie ou infinie en \(a\), alors \(f\) a une limite en \(a\) et on a :

\[\lim_a f=\lim_a g\]

Exercice Conséquence pour une courbe représentative réservé aux comptes

Remarque Réciproque fausse de la conservation des limites

La réciproque de l’implication précédente est fausse.

Contre-exemple Même limite infinie sans équivalence réservé aux comptes

Propriété Équivalence à une limite non nulle

\[\text{Soit }\ell\in\mathbb{R}^*.\qquad f\sim_a\ell\Longleftrightarrow\lim_a f=\ell\]

Exemple résolu Complétions d’équivalents usuels réservé aux comptes

Propriété Conservation du signe par équivalence

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions équivalentes au voisinage de \(a\).

Au voisinage de \(a\), le signe de \(f(x)\) est égal à celui de \(g(x)\).

Équivalents usuels

Propriété Limites usuelles

Si \(f\) est dérivable en \(a\), on a

\[\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)\]
\[\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1\]
\[\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x}=0\]
\[\lim_{x\to0}\frac{\cos x-1}{x^2}=-\frac{1}{2}\]

Propriété Équivalent local issu de la dérivabilité

Soit \(a\) un réel. Si \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f'(a)\ne0\), alors, au voisinage de \(a\),

\[f(x)-f(a)\sim_a f'(a)(x-a)\]

Propriété Équivalents usuels par composition

Soit une fonction \(u\) vérifiant \(\lim_{x\to a}u(x)=0\), avec \(a\in\mathbb{R}\).

\[\sin(u(x))\sim_a u(x)\qquad\tan(u(x))\sim_a u(x)\qquad\ln(1+u(x))\sim_a u(x)\qquad e^{u(x)}-1\sim_a u(x)\qquad1-\cos(u(x))\sim_a\frac{(u(x))^2}{2}\]

Soit une fonction \(v\) vérifiant \(\lim_{x\to a}v(x)=1\), avec \(a\in\mathbb{R}\).

\[\ln(v(x))\sim_a v(x)-1\]

Remarques Remarques

Remarque Développement du cosinus à l’ordre un
\[\cos x=1+o_0(x)\]
Remarque Développement du cosinus à l’ordre deux
\[\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o_0(x^2)\]

Exercice Équivalent du sinus d’un inverse réservé aux comptes

Opérations sur les fonctions équivalentes

Propriété Transitivité, produit, quotient et puissance

\[f\sim_a g\text{ et }g\sim_a h\Longrightarrow f\sim_a h\]
\[f_1\sim_a g_1\text{ et }f_2\sim_a g_2\Longrightarrow f_1f_2\sim_a g_1g_2\]
\[f_1\sim_a g_1,\ f_2\sim_a g_2\text{ et }g_2\text{ ne s’annule pas au voisinage de }a\Longrightarrow\frac{f_1}{f_2}\sim_a\frac{g_1}{g_2}\]
\[f\sim_a g\text{ et }f>0\text{ au voisinage de }a\Longrightarrow\forall b\in\mathbb{R},\ f^b\sim_a g^b\]

Restrictions et développement binomial

Remarques Remarques

Remarque Somme et différence d’équivalents

On ne peut ni sommer ni soustraire les équivalents.

\[x+x^2\sim_0x\qquad-x+x^3\sim_0-x\]
\[x+x^2-x+x^3=x^2+x^3\sim_0x^2\qquad x-x=0\]

Remarque Composition d’équivalents

On ne peut pas composer les équivalents par une fonction : si \(f\sim_a g\), on ne peut rien dire a priori de \(u(f(x))\) et \(u(g(x))\).

\[x+1\sim_{+\infty}x\qquad\text{mais}\qquad e^{x+1}\not\sim_{+\infty}e^x\]
\[\lim_{x\to0}\frac{e^x}{e^{x^2}}=1\qquad\text{donc}\qquad e^x\sim_0e^{x^2}\]
\[\ln(e^x)\not\sim_0\ln(e^{x^2})\]

Propriété Développement binomial local

Soient \(b\) un réel et une fonction \(u\) vérifiant \(\lim_{x\to a}u(x)=0\), avec \(a\in\overline{\mathbb{R}}\).

\[(1+u(x))^b-1\sim_a bu(x)\]

Exemple résolu Équivalent du logarithme d’un cosinus réservé aux comptes

Exemple résolu Équivalent d’une racine de quotient au voisinage de l’infini réservé aux comptes

Exemple résolu Équivalent d’un quotient avec cosinus d’un inverse réservé aux comptes

Exemple résolu Équivalent d’une racine de quotient au voisinage de zéro réservé aux comptes

Limites des fonctions équivalentes

Mise en garde Détermination d’un équivalent

Peut-on déterminer simplement un équivalent de \(\left(\sqrt{1+x}+\ln(1+x)\right)^2-1\) au voisinage de \(0\) ?