Cours

Développements limités

Plan

Objectifs de maîtrise préalables
Revoir les objectifs relatifs aux relations de comparaison locale.
Utiliser · Relations de comparaison locale

Définition et forme normalisée
Connaître la définition et la forme normalisée d’un développement limité.
Connaître, définir · Développement limité à un ordre donné, Forme normalisée d’un développement limité
Approximation polynomiale locale
Savoir interpréter un développement limité comme approximation polynomiale d’une fonction.
Utiliser · Développement limité à un ordre donné
Réduction au voisinage de zéro
Savoir ramener un développement limité au voisinage de \(x_0\) à un développement limité au voisinage de \(0\), en posant \(x=x_0+h\).
Convertir · Développement limité à un ordre donné

Détermination d’un équivalent
Savoir que la forme normalisée d’un développement limité d’une fonction permet de déterminer un équivalent.
Déterminer · Forme normalisée d’un développement limité
Signe local d’une fonction
Savoir que la forme normalisée d’un développement limité d’une fonction permet de déterminer le signe de la fonction localement.
Déterminer · Forme normalisée d’un développement limité
Prévision de l’ordre
Savoir que la forme normalisée d’un développement limité d’une fonction permet de prévoir l’ordre d’un développement limité.
Déterminer · Prévision des ordres et substitutions

Unicité, troncature et parité
Connaître les propriétés d’un développement limité : unicité, troncature, parité.
Connaître · Propriétés des développements limités
Formule de Taylor–Young
Connaître et savoir utiliser la formule de Taylor–Young pour déterminer des développements limités, à condition que la fonction considérée soit de classe \(\mathcal{C}^n\) sur un intervalle contenant le point considéré.
Connaître, utiliser · Formule de Taylor–Young
Développements limités usuels
Connaître les développements limités usuels à tout ordre \(n\) en \(0\) de exp, sin, cos, \(x\mapsto\frac{1}{1-x}\), \(x\mapsto(1+x)^a\), \(x\mapsto\ln(1+x)\), ainsi que celui de tan à l’ordre \(3\) en \(0\).
Connaître · Développements limités usuels, Application, Application
Calcul par opérations
Savoir obtenir des développements limités : substitutions élémentaires, somme, produit, composition, troncature, quotient, intégration. Lors d’une intégration, on n’oubliera pas le terme constant, valeur de la primitive au point considéré.
Utiliser · Opérations sur les développements limités, Intégration des développements limités

Limites par développement limité
Savoir utiliser les développements limités pour déterminer des limites quand toutes les autres méthodes ont été tentées. Par exemple, déterminer un prolongement par continuité d’une fonction, étudier la continuité d’une fonction en un point, étudier la dérivabilité d’une fonction en un point …
Déterminer, étudier · Recherche d’équivalents et de limites
Équivalents par développement limité
Savoir utiliser les développements limités pour déterminer des équivalents.
Déterminer · Recherche d’équivalents et de limites

Tangente et position relative locale
Pour étudier localement une fonction en un point : déterminer une tangente et sa position relative locale par rapport à la courbe d’une fonction.
Déterminer · Tangente et position relative locale
Asymptotes et position relative
Pour étudier localement une fonction en un point : déterminer des éventuelles asymptotes au voisinage de l’infini et leur position relative locale par rapport à la courbe de la fonction.
Déterminer · Recherche d’asymptotes