Module
Utilisations des développements limités
- Domaine
- Analyse
Recherche d’équivalents et de limites
Méthode Recherche d’équivalents et de limites
Recherche d’équivalents et de limites.
Exemple résolu Équivalents et limites par développement limité réservé aux comptes
Étude locale d’une fonction
Méthode Tangente et position relative locale
Si, au voisinage de \(x_0\), on a \(f(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_n(x-x_0)^n+o((x-x_0)^n)\), avec \(a_n\ne0\) et \(n\ge2\), alors la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point \((x_0,f(x_0))\) est la droite d’équation \(y=a_0+a_1(x-x_0)\), et, au voisinage de \(x_0\), la position de la courbe de \(f\) par rapport à cette tangente est donnée par le signe de \(a_n(x-x_0)^n\).
Exemple résolu Études locales par développement limité réservé aux comptes
Recherche d’asymptotes
Méthode Développement asymptotique
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(+\infty\) telle que \(\lim_{x\to+\infty}|f(x)|=+\infty\).
On cherche un développement limité au voisinage de \(+\infty\) de la fonction définie par \(x\mapsto\frac{f(x)}{x}\), en posant \(h=\frac{1}{x}\) qui tend vers \(0\).
La droite d’équation \(y=ax+b\) est asymptote à la courbe représentative de \(f\) au voisinage de \(+\infty\).
\(f(x)-(ax+b)\sim_{x\to+\infty}\frac{c}{x^n}\) donne, par son signe, la position de la courbe de \(f\) par rapport à son asymptote au voisinage de \(+\infty\).
On peut procéder d’une façon analogue au voisinage de \(-\infty\).
Remarque Critère d’existence d’une asymptote
Soit \(f\) une fonction définie au voisinage de \(+\infty\) telle que \(\lim_{x\to+\infty}|f(x)|=+\infty\).
L’existence d’une asymptote à la courbe de \(f\) au voisinage de \(+\infty\) est équivalente à l’existence de deux réels \(a\) et \(b\) et d’une fonction \(\varepsilon\) tendant vers \(0\) en \(+\infty\), vérifiant \(f(x)=ax+b+\varepsilon(x)\).