Module

Opérations sur les développements limités

Domaine: Analyse
Prérequis: Développements limités

Prévision des ordres et substitutions

Explication Prévision des ordres de développement

Quand on vous demande le développement limité d’une fonction à un certain ordre, la difficulté est de prévoir les ordres auxquels il faut développer les expressions.

Si on effectue des développements trop élevés, on obtiendra au final un développement limité à un ordre supérieur à celui qui est voulu. On termine alors en tronquant mais on aura perdu du temps et on augmente les risques d’erreurs.

Si on effectue des développements pas assez élevés, on obtiendra au final un développement limité à un ordre inférieur à celui qui est demandé.

On doit alors recommencer tous les calculs depuis le début.

Méthode Substitution élémentaire dans un développement limité

On peut remplacer \(x\) par \(ax^p\) (avec \(a\in\mathbb{R}\) et \(p\in\mathbb{N}^*\)) dans un développement limité au voisinage de \(0\).

En effet, si \(\lim_{x\to0}\varepsilon(x)=0\), alors il en est de même de \(\varepsilon(ax^p)\).

Exemple résolu Exponentielle de \(-x^2\) réservé aux comptes

Somme et produit

Propriété Somme et produit de développements limités

Soient \(a\) et \(b\) deux réels, \(f\) et \(g\) deux fonctions qui admettent chacune un développement limité à l’ordre \(n\) au voisinage de \(x_0\), avec :

\[f(h+x_0)=P(h)+o(h^n)\quad\text{et}\quad g(h+x_0)=Q(h)+o(h^n)\]

\(af+bg\) admet un développement limité à l’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\) :

\[(af+bg)(h+x_0)=aP(h)+bQ(h)+o(h^n)\]

\(fg\) admet un développement limité à l’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\), dont la partie polynomiale est obtenue en ne gardant, dans le produit \(PQ\), que les termes de degré inférieur ou égal à \(n\).

Exemple résolu Calculs par somme et produit réservé aux comptes

Méthode Produit de développements limités

On cherche un développement limité à l’ordre \(N\) de la fonction \(f\times g\) au voisinage de \(0\).

On écrit la forme normalisée de deux développements limités de \(f\) et de \(g\) à un ordre inconnu en \(0\) :

\[f(h)=h^p\underbrace{\left[a_p+a_{p+1}h+\cdots+a_nh^n+o(h^n)\right]}_u\qquad\text{et}\qquad g(h)=h^q\underbrace{\left[b_q+b_{q+1}h+\cdots+b_mh^m+o(h^m)\right]}_v\]

On écrit les deux développements limités de \(u\) et de \(v\) à l’ordre \(N-p-q\) et on effectue leur produit.

On obtient un développement limité de \(u\times v\) à l’ordre \(N-p-q\).

Ceci suffit pour obtenir un développement limité de \(f\times g\) à l’ordre \(N\).

Ainsi, on a :

\[f(h)\times g(h)=h^{p+q}\left[a_p+a_{p+1}h+\cdots+a_nh^n+o(h^n)\right]\times\left[b_q+b_{q+1}h+\cdots+b_mh^m+o(h^m)\right]\]

Ces deux développements limités doivent être à l’ordre \(N-p-q\) et on effectue leur produit.

Composition

Propriété Composition de développements limités

Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions qui admettent chacune un développement limité à l’ordre \(n\), avec :

\[f(h+x_0)=P(h)+o(h^n)\qquad\text{et}\qquad g(h+y_0)=Q(h)+o(h^n)\]

Si \(\lim_{x\to x_0}f=y_0\), alors la fonction composée \(g\circ f\) admet un développement limité à l’ordre \(n\) au voisinage de \(x_0\), dont la partie polynomiale est obtenue en ne gardant, dans \(Q\circ P\), que les termes de degré inférieur ou égal à \(n\).

Exemple résolu Calculs par composition réservé aux comptes

Composition par fonctions usuelles et quotient

Méthode Exponentielle, logarithme et puissance d’un développement limité

\[\exp(f(x))=\exp\left[a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n)\right],\qquad a_0\ne0\]

\[\exp(f(x))=\exp(a_0)\exp\left(a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n)\right),\qquad u=a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n)\]

\[\exp u=1+u+\frac{u^2}{2!}+\cdots+o(u^n)\]

\[\ln(f(x))=\ln\left[a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n)\right],\qquad a_0\ne0\]

\[\ln(f(x))=\ln(a_0)+\ln\left(1+\frac{a_1}{a_0}x+\cdots+o(x^n)\right),\qquad u=\frac{a_1}{a_0}x+\cdots+o(x^n)\]

\[\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+\cdots+o(u^n)\]

\[(f(x))^\alpha=\left[a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n+o(x^n)\right]^\alpha,\qquad a_0\ne0\]

\[(f(x))^\alpha=a_0^\alpha\left(1+\frac{a_1}{a_0}x+\cdots+o(x^n)\right)^\alpha,\qquad u=\frac{a_1}{a_0}x+\cdots+o(x^n)\]

\[(1+u)^\alpha=1+\alpha u+\cdots+o(u^n)\]

Exemple résolu Développements limités obtenus par composition réservé aux comptes

Méthode Quotient de développements limités

On cherche un développement limité à l’ordre \(N\) de la fonction \(\frac{f}{g}\) au voisinage de \(0\).

On écrit la forme normalisée de deux développements limités de \(f\) et de \(g\) à un ordre inconnu en \(0\) :

\[f(h)=h^p\left[a_p+a_{p+1}h+\cdots+a_nh^n+o(h^n)\right]\qquad\text{et}\qquad g(h)=h^q\left[b_q+b_{q+1}h+\cdots+b_mh^m+o(h^m)\right]\]

On écrit les deux développements limités de \(u\) et de \(v\) à l’ordre \(N-p+q\) et on effectue leur quotient en remarquant que \(\frac{u}{v}=u\frac{1}{v}\) et qu’un développement limité de \(\frac{1}{v}\) s’obtient en utilisant celui de \((1+u)^{-1}\).

Ceci suffit pour obtenir un développement limité de \(\frac{f}{g}\) à l’ordre \(N\) :

\[\frac{f(h)}{g(h)}=h^{p-q}\left[a_p+a_{p+1}h+\cdots+a_nh^n+o(h^n)\right]\left[b_q+b_{q+1}h+\cdots+b_mh^m+o(h^m)\right]^{-1}\]

\[\frac{f(h)}{g(h)}=h^{p-q}\frac{1}{b_q}\left[a_p+a_{p+1}h+\cdots+a_nh^n+o(h^n)\right]\left[1+c_{q+1}h+\cdots+c_mh^m+o(h^m)\right]^{-1}\]

Ces deux développements limités doivent être à l’ordre \(N-p+q\). On utilise le développement limité de \((1+u)^{-1}\) puis on effectue leur produit.