Module
Formule de Taylor–Young
- Domaine
- Analyse
- Notations
- Intervalle des fonctions dérivables
Formule de Taylor–Young
Théorème Développement limité d’une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\)
Soient \(f\) une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\) et \(x_0\) un réel de \(I\).
Alors \(f\) possède un développement limité d’ordre \(n\), au voisinage de \(x_0\), donné par :
\[f(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)+\frac{(x-x_0)^2}{2!}f^{(2)}(x_0)+\cdots+\frac{(x-x_0)^n}{n!}f^{(n)}(x_0)+o((x-x_0)^n)\]
Autrement dit, on a :
\[f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(x-x_0)^k}{k!}f^{(k)}(x_0)+o((x-x_0)^n)\]
Développements limités usuels
Application Développements limités des fonctions élémentaires réservé aux comptes
Exemple résolu Racine carrée de \(1+x\) réservé aux comptes
Exemple résolu Inverse du carré de \(1+x\) réservé aux comptes
Exemple résolu Développement limité et régularité réservé aux comptes
Remarque Absence de dérivation générale
En général, on ne peut pas dériver un développement limité d’une fonction au voisinage d’un point.
Remarques Remarques
Remarque Écriture avec un décalage
En posant \(x=h+x_0\), on peut aussi écrire :
Remarque Écriture au voisinage de zéro
En particulier, si \(x_0=0\), on a :