Module

Inégalités dans les réels

Domaine: Algèbre
Prérequis: Ensembles usuels de nombres

Relation d’ordre et règles de calcul

Définition Relation d’ordre sur les réels

Sur \(\mathbb{R}\), on dispose de la relation \(\le\) de comparaison.

C’est une relation d’ordre, ce qui signifie qu’elle est :

Caractérisation Réflexivité

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad x\le x\]

Caractérisation Antisymétrie

\[\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\quad (x\le y\text{ et }y\le x)\Rightarrow(x=y)\]

Caractérisation Transitivité

\[\forall(x,y,z)\in\mathbb{R}^3,\quad (x\le y\text{ et }y\le z)\Rightarrow(x\le z)\]

Propriété Compatibilité avec l’addition et la multiplication

\[\forall(x,y,c)\in\mathbb{R}^3,\quad (x\le y)\Rightarrow(x+c\le y+c)\]

\[\forall(x,y,c)\in\mathbb{R}^3,\quad (x\le y\text{ et }c\ge 0)\Rightarrow(xc\le yc)\]

\[\forall(x,y,c)\in\mathbb{R}^3,\quad (x\le y\text{ et }c\le 0)\Rightarrow(xc\ge yc)\]

Corollaire Conséquences de compatibilité

\[\forall(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4,\quad (a\le b\text{ et }c\le d)\Rightarrow(a+c\le b+d)\]

\[\forall(a,b,c,d)\in\mathbb{R}^4,\quad (0\le a\le b\text{ et }0\le c\le d)\Rightarrow(ac\le bd)\]

Exemple résolu Encadrement de deux expressions réservé aux comptes

Propriété Passage à l’inverse

\[a\le b\text{ et }a\text{ et }b\text{ sont non nuls de même signe}\Rightarrow\frac{1}{b}\le\frac{1}{a}\]

Remarques Remarques

Remarque Inverses de signes opposés

\[a<0<b\Rightarrow\frac{1}{a}<\frac{1}{b}\]

Remarque Remplacement par des inégalités strictes

On peut remplacer les inégalités larges par des inégalités strictes dans les propriétés de compatibilité et de passage à l’inverse.

Remarque Conséquence d’une inégalité stricte

\[(a<b)\Rightarrow(a\le b)\]

Mais la réciproque est fausse.

Remarque Décomposition d’une inégalité large

\[(a\le b)\Longleftrightarrow(a<b\text{ ou }a=b)\]

Exemple résolu Encadrement d’une fraction rationnelle réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Soustraction membre à membre

On ne soustrait pas des inégalités membre à membre : on passe à l’opposé puis on additionne, comme dans l’encadrement de deux expressions.

« \((a\le b\text{ et }c\le d)\Rightarrow(a-c\le b-d)\) » est une assertion fausse.

En effet, on a : \(((4\le5\text{ et }1\le6)\text{ et }(4-1>5-6))\).

Remarque Division membre à membre

De même, on ne divise pas des inégalités membre à membre : on passe à l’inverse puis on multiplie si tous les nombres sont positifs, comme dans l’encadrement d’une fraction rationnelle.

« \((a\le b\text{ et }c\le d)\Rightarrow(a/c\le b/d)\) » est une assertion fausse.

En effet, on a : \(((4\le5\text{ et }1\le6)\text{ et }(4/1>5/6))\).

Exemple résolu Minoration d’une somme et de son inverse réservé aux comptes