Module
Généralités sur les suites
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Applications entre ensembles
Définitions et opérations sur les suites
Définition Suite à valeurs réelles
Une suite est une application de \(\mathbb{N}\) dans \(\mathbb{R}\).
\(u_n\) est appelé terme d’indice \(n\), ou, terme général de la suite \(u\).
Notation Notations d’une suite
La suite \(u\) est notée \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) ou \((u_n)_{n\geq 0}\) ou \((u_n)\).
Notation Ensemble des suites à valeurs réelles
\(\mathcal{S}(\mathbb{R})\) désigne l’ensemble des suites à valeurs dans \(\mathbb{R}\).
Définition Somme et produits de suites
La somme de deux suites \(u\) et \(v\) est la suite \(s\) définie par \(\forall n\in\mathbb{N},\ s_n=u_n+v_n\).
Le produit d’une suite \(u\) par un réel \(\lambda\) est la suite \(w\) définie par \(\forall n\in\mathbb{N},\ w_n=\lambda u_n\).
Le produit de deux suites \(u\) et \(v\) est la suite \(p\) définie par \(\forall n\in\mathbb{N},\ p_n=u_nv_n\).
Modes de définition d’une suite
Représentation d’une suite récurrente
Méthode Itération graphique d’une suite récurrente
Pour représenter une suite réelle définie par \(u_0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\), on représente la courbe \(C\) de \(f\) et la droite \((D)\) d’équation \(y=x\) dans un repère orthonormal, puis on place le point \(M_0\) de coordonnées \((u_0,0)\).
On représente la suite \((u_n)\) en itérant le procédé suivant.
On représente le point \(M_{n+1}\) d’abscisse \(u_{n+1}\) à partir du point \(M_n\) d’abscisse \(u_n\) en construisant :
le point \(N_n(u_n,u_{n+1})\), intersection de la parallèle à \((Oy)\) passant par \(M_n\) avec la courbe \(C\) ;
le point \(M_{n+1}(u_{n+1},u_{n+1})\), intersection de la parallèle à \((Ox)\) passant par \(N_n\) avec la droite \((D)\).
Exemple résolu Représentation de suites associées à la racine carrée réservé aux comptes
Explication Définition explicite ou par récurrence
Une suite peut être définie de plusieurs façons :
par une expression explicite de \(u_n\) en fonction de \(n\) ;
par la donnée des premiers termes de la suite et par une relation de récurrence.
Exemple résolu Suite définie par une expression explicite réservé aux comptes
Exemple résolu Suite définie par une relation de récurrence d’ordre un réservé aux comptes
Exemple résolu Suite définie par une relation de récurrence d’ordre deux réservé aux comptes