Terme

Reste d’une série

Nom: reste
Expression: reste de rang \(n\)
Termes plus larges: Série convergente
Condition de définition: Série convergente

Définition

Définition Reste d’une série convergente

Soit \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) une série convergente. On appelle reste de rang \(n\) le réel \(R_n\) défini par

\[R_n=\sum_{k=n_0}^{+\infty}u_k-\sum_{k=n_0}^{n}u_k=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k\]

Remarques Remarques

Remarque Limite des sommes partielles et du reste

Soit \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) une série convergente de somme \(S\).

\[\forall n\in[n_0,+\infty[,\qquad S_n=\sum_{k=n_0}^{n}u_k\qquad\text{et}\qquad S=\sum_{k=n_0}^{+\infty}u_k\]

\[S=\lim_{n\to+\infty}S_n\qquad\text{ou}\qquad \sum_{k=n_0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\to+\infty}\left(\sum_{k=n_0}^{n}u_k\right)\]

\[R_n=S-S_n\qquad\text{donc}\qquad \lim_{n\to+\infty}R_n=0\]

Remarque Sens de la nature d’une série

Étudier la nature d’une série, c’est déterminer si elle est convergente ou divergente.

L’expression \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) diverge ne doit pas prêter à confusion : elle ne veut pas dire que la suite des sommes partielles diverge vers \(+\infty\), mais simplement qu’elle diverge.

En effet, la série \(\sum(-1)^n\) diverge et ses sommes partielles valent \(0\) ou \(1\).

Remarque Absence de somme pour une série divergente

Si \(\sum_{n\geq n_0}u_n\) diverge, la notion de somme n’existe pas.

Remarque Distinction entre série et somme

Attention, ne pas confondre la série \(\sum_{n\geq n_0}u_n\), qui est en fait une suite, et la somme de la série, qui est en fait un réel qui existe lorsque la série converge.

Module : Généralités sur les séries numériques