Module
Systèmes linéaires d’ordre 1 à coefficients constants
- Domaine
- Analyse
Généralités
Définition Système linéaire d’ordre 1 à coefficients constants
\(I\) est un intervalle de \(\mathbb{R}\).
On appelle système linéaire d’ordre \(1\) à coefficients constants tout système de la forme
\[(S)\quad \forall t\in I,\quad \left\{\begin{aligned}x_1'(t)&=a_{11}x_1(t)+\cdots+a_{1n}x_n(t)\\&\ \vdots\\x_n'(t)&=a_{n1}x_1(t)+\cdots+a_{nn}x_n(t)\end{aligned}\right.,\qquad a_{ij}\in\mathbb{R}\]
Résoudre \((S)\), c’est déterminer tous les \(n\)-uplets \((f_1,f_2,\ldots,f_n)\) de fonctions dérivables sur \(I\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) qui vérifient \((S)\).
Notation Écriture matricielle du système
\[A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n},\qquad X=\begin{pmatrix}x_1(t)\\\vdots\\x_n(t)\end{pmatrix},\qquad X'=\begin{pmatrix}x_1'(t)\\\vdots\\x_n'(t)\end{pmatrix}\]
\[(S)\text{ s’écrit }X'=AX\]
Cas où la matrice est diagonalisable
Méthode Résolution par diagonalisation
Notons \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) les valeurs propres de \(A\), chacune comptée autant de fois que son ordre de multiplicité.
Il existe une matrice diagonale \(D\) et une matrice \(P\) inversible telles que
\[A=PDP^{-1}\qquad\text{et}\qquad D=\operatorname{Diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\]
\[X'=AX\Longleftrightarrow X'=PDP^{-1}X\Longleftrightarrow P^{-1}X'=DP^{-1}X\]
\[Y=P^{-1}X\qquad\text{et}\qquad Y'=P^{-1}X'\]
Le système devient
\[Y'=DY\Longleftrightarrow\begin{pmatrix}y_1'(t)\\\vdots\\y_n'(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\ddots&\ddots&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&0\\0&\cdots&0&\lambda_n\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1(t)\\\vdots\\y_n(t)\end{pmatrix}\]
\[\forall k\in\{1,\ldots,n\},\qquad y_k'(t)=\lambda_ky_k(t)\]
\[\forall k\in\{1,\ldots,n\},\qquad y_k(t)=\alpha_ke^{\lambda_kt},\quad \alpha_k\in\mathbb{R}\]
On retrouve la solution générale de \((S)\) en revenant à \(X=PY\).
\[X=PY=\begin{pmatrix}b_{11}&\cdots&b_{1n}\\\vdots&\ddots&\vdots\\b_{n1}&\cdots&b_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1(t)\\\vdots\\y_n(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_{11}y_1(t)+\cdots+b_{1n}y_n(t)\\\vdots\\b_{n1}y_1(t)+\cdots+b_{nn}y_n(t)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1(t)\\\vdots\\x_n(t)\end{pmatrix}\]
Exemple résolu Résolution d’un système différentiel réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Calcul de l’inverse inutile
Pour résoudre \((S)\), le calcul de \(P^{-1}\) est inutile.
Remarque Existence et unicité avec condition initiale
Soient \(t_0\in\mathbb{R}\) et \(X_0\in\mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{R})\). L’équation \(X'=AX\) admet une unique solution satisfaisant la condition initiale \(X(t_0)=X_0\).