Module
Suites monotones
- Domaine
- Analyse
Suites monotones
Définition Croissance, décroissance et monotonie
Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\).
La suite \((u_n)\) est croissante si :
La suite \((u_n)\) est décroissante si :
La suite \((u_n)\) est constante si :
Une suite est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Méthode Étudier le sens de variation d’une suite
On peut étudier le sens de variation d’une suite en examinant le signe de la différence de deux termes consécutifs ou en utilisant une fonction associée.
Méthode Signe de la différence de deux termes consécutifs
On étudie le signe de \(u_{n+1}-u_n\).
Méthode Variation d’une fonction associée
Si \(u_n=f(n)\), la suite a le même sens de variation que \(f\) sur \([0,+\infty[\).
Si \(f\) est décroissante sur \([n_0,+\infty[\), alors \((u_n)\) est décroissante à partir du rang \(n_0\).
Exemple résolu Étude d’une suite rationnelle réservé aux comptes
Exemple résolu Étude d’une suite polynomiale réservé aux comptes
Exemple résolu Étude de deux suites définies par une somme et un produit réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Inégalités strictes
On définit de la même manière les suites strictement croissantes et strictement décroissantes en remplaçant les inégalités larges par des inégalités strictes.
Remarque Monotonie à partir d’un certain rang
Une suite est croissante à partir du rang \(n_0\) si :
Elle est décroissante à partir du rang \(n_0\) si :
Remarque Exemple de suite non monotone
La suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) définie par \(u_n=(-1)^n\) n’est pas monotone.