Module
Monotonie d’une fonction
- Domaine
- Analyse
Monotonie
Définition Croissance et décroissance
Soit \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\).
On dit que \(f\) est croissante sur \(I\) si \(\forall(x,y)\in I^2,\ x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)\).
On dit que \(f\) est décroissante sur \(I\) si \(\forall(x,y)\in I^2,\ x\leq y\Rightarrow f(x)\geq f(y)\).
On dit que \(f\) est strictement croissante sur \(I\) si \(\forall(x,y)\in I^2,\ x<y\Rightarrow f(x)<f(y)\).
On dit que \(f\) est strictement décroissante sur \(I\) si \(\forall(x,y)\in I^2,\ x<y\Rightarrow f(x)>f(y)\).
On dit que \(f\) est monotone sur \(I\) si \(f\) est croissante ou décroissante sur \(I\).
On dit que \(f\) est strictement monotone sur \(I\) si \(f\) est strictement croissante ou strictement décroissante sur \(I\).
Propriété Opérations sur les fonctions monotones
Soient \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\) et \(g\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\).
\(f\) croissante sur \(I\) \(\Longleftrightarrow\) \(-f\) décroissante sur \(I\).
\(f\) et \(g\) croissantes sur \(I\) \(\Longrightarrow\) \(f+g\) croissante sur \(I\).
\(f\) et \(g\) décroissantes sur \(I\) \(\Longrightarrow\) \(f+g\) décroissante sur \(I\).
Remarques Remarques
Remarque Somme strictement croissante
Si \(f\) est strictement croissante sur \(I\) et si \(g\) est croissante sur \(I\), alors \(f+g\) est strictement croissante sur \(I\).
Remarque Produit de deux fonctions
Il n’y a pas de règles concernant le produit de deux fonctions.
Propriété Monotonie d’une composée
Soient \(f\in\mathcal{F}(I,\mathbb{R})\) et \(g\in\mathcal{F}(J,\mathbb{R})\) tels que l’on ait : \(f(I)\subset J\).
\(g\circ f\) est définie sur \(I\).
Si \(f\) et \(g\) ont la même monotonie, alors \(g\circ f\) est croissante.
Si \(f\) et \(g\) sont de monotonie contraire, alors \(g\circ f\) est décroissante.
Exemple résolu Composée d’une fonction dans elle-même réservé aux comptes
Exemple résolu Monotonie d’une fonction logarithmique réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Taux d’accroissement et monotonie
Étudier la monotonie de \(f\) revient à étudier le signe du taux d’accroissement
défini pour tout \(x\in I\), pour tout \(y\in I\), avec \(x\ne y\).
Remarque Lien entre monotonie et dérivée
Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(I\).
\(f\) est croissante sur \(I\) si, et seulement si, \(\forall x\in I,\ f'(x)\geq 0\).
\(f\) est décroissante sur \(I\) si, et seulement si, \(\forall x\in I,\ f'(x)\leq 0\).
Si \(\forall x\in I,\ f'(x)>0\) alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Si \(\forall x\in I,\ f'(x)<0\) alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Si \(f'\) est positive sur \(I\) et ne s’annule qu’en un nombre fini de points de \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Si \(f'\) est négative sur \(I\) et ne s’annule qu’en un nombre fini de points de \(I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).