Module

Suites convergentes

Domaine: Analyse
Sous-modules: Opérations sur les limites de suites
Prérequis: Généralités sur les suites
Notations: Ensemble des suites à valeurs réelles

Définitions

Explication Approche intuitive de zéro

Plus \(n\) est grand, plus \(u_n\) est proche de \(0\).

\(n\) est au voisinage de \(+\infty\) : \(\exists n_0\in\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N},\ n\geq n_0\).

La distance entre \(0\) et \(u_n\) vaut \(|u_n-0|\) : \(|u_n-0|\leq\varepsilon\Longleftrightarrow-\varepsilon\leq u_n\leq\varepsilon\).

Tout intervalle de la forme \([-\varepsilon,\varepsilon]\) contient toutes les valeurs de \(u_n\), à partir d’un certain rang.

Étant donné \(\varepsilon>0\) quelconque, il existe un rang \(n_0\) à partir duquel \(-\varepsilon\leq u_n\leq\varepsilon\).

\[\forall\varepsilon>0,\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N},\quad n\geq n_0\Longrightarrow |u_n|\leq\varepsilon\]

Figure Voisinage de zéro pour une suite

Schéma d’une droite graduée présentant un voisinage de zéro et quelques termes de la suite.

Définition Convergence vers zéro

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\).

On dit que la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) converge vers \(0\) si :

\[\forall\varepsilon>0,\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N},\quad n\geq n_0\Longrightarrow |u_n|\leq\varepsilon\]

Notation Notations d’une convergence vers zéro

\[u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\qquad\text{ou}\qquad\lim_{n\to+\infty}u_n=0\qquad\text{ou}\qquad u_n\to0\qquad\text{ou}\qquad\lim u_n=0\]

Limites infinies

Définition Tendance vers plus ou moins l’infini

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de \(\mathcal{S}(\mathbb{R})\).

On dit que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) tend vers \(+\infty\) si :

\[\forall A\in\mathbb{R},\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N},\quad n\geq n_0\Longrightarrow u_n\geq A\]

On dit que \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) tend vers \(-\infty\) si :

\[\forall B\in\mathbb{R},\ \exists n_0\in\mathbb{N},\ \forall n\in\mathbb{N},\quad n\geq n_0\Longrightarrow u_n\leq B\]

Notation Notations des limites infinies

\[u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty\qquad\text{ou}\qquad\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty\]

\[u_n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}-\infty\qquad\text{ou}\qquad\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty\]

Remarque Une limite infinie entraîne la divergence

Si \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\), la suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est divergente.

Exemple résolu Divergence de la suite des carrés réservé aux comptes

Limites classiques à connaître

Propriété Limites des puissances d’un réel

Soit \(q\) un réel.

Si \(-1<q<1\), la suite \((q^n)\) converge vers \(0\).

Si \(q=1\), la suite \((q^n)\) est constante.

Si \(q>1\), la suite \((q^n)\) diverge vers \(+\infty\).

Si \(q\leq-1\), la suite \((q^n)\) diverge.

Propriété Croissances comparées

Pour tous réels \(a\), \(b\) et \(c\) strictement positifs, pour tout réel \(q\) de \(]-1,1[\), on a :

\[\frac{n^a}{e^{bn}}=n^a e^{-bn}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\qquad\text{et, par passage à l’inverse,}\qquad\frac{e^{bn}}{n^a}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty\]

\[\frac{\ln^c n}{n^a}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\]

\[\frac{\ln^c n}{e^{bn}}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\qquad\text{et, par passage à l’inverse,}\qquad\frac{e^{bn}}{\ln^c n}\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}+\infty\]

\[n^a q^n\underset{n\to+\infty}{\longrightarrow}0\]