Module
Opérations sur les limites de suites
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Suites convergentes
Opérations sur les limites tendant vers l’infini
Tableau Somme de deux limites
Tableau de la limite de \(u_n+v_n\), en fonction des limites de \(u_n\) et de \(v_n\).
| Limite de \((u_n)\) / limite de \((v_n)\) | \(a\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
|---|---|---|---|
| \(b\) | \(a+b\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(+\infty\) | Forme indéterminée |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | Forme indéterminée | \(-\infty\) |
Tableau Produit de deux limites
Tableau de la limite de \(u_nv_n\), en fonction des limites de \(u_n\) et de \(v_n\).
| Limite de \((u_n)\) / limite de \((v_n)\) | \(a>0\) | \(a<0\) | \(a=0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(b>0\) | \(ab\) | \(ab\) | \(0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(b<0\) | \(ab\) | \(ab\) | \(0\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
| \(b=0\) | \(0\) | \(0\) | \(0\) | Forme indéterminée | Forme indéterminée |
| \(+\infty\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) | Forme indéterminée | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
| \(-\infty\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | Forme indéterminée | \(-\infty\) | \(+\infty\) |
Tableau Limite de l’inverse d’une suite
Tableau de la limite de \(1/u_n\), en fonction de la limite de \(u_n\).
| Limite de \((u_n)\) | \(a\ne0\) | \(a=0\) | \(+\infty\) | \(-\infty\) |
|---|---|---|---|---|
| Limite de \(\left(\dfrac{1}{u_n}\right)\) | \(\dfrac{1}{a}\) | \(\begin{cases}+\infty&\text{si }\forall n\in\mathbb{N},\ u_n>0\\-\infty&\text{si }\forall n\in\mathbb{N},\ u_n<0\end{cases}\) | \(0\) | \(0\) |
Propriété Calcul d’une limite de quotient
La limite du quotient \(\dfrac{u_n}{v_n}\) s’étudie comme la limite du produit de \(u_n\) par l’inverse de \(v_n\).
Pour les quotients, il y a deux types de formes indéterminées : \(\dfrac{0}{0}\) ou \(\dfrac{\infty}{\infty}\).