Module

Suites arithmétiques

Domaine: Analyse
Prérequis: Généralités sur les suites, Sommes

Suites arithmétiques

Définition Suite arithmétique et raison

Une suite \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) est dite arithmétique s’il existe un réel \(r\) tel que :

\[\forall n\in\mathbb{N},\qquad u_{n+1}=u_n+r\]

\(r\) est appelée la raison de la suite \((u_n)\).

Exemple résolu Vérification d’une suite définie explicitement réservé aux comptes

Exemple résolu Vérification d’une suite définie par récurrence réservé aux comptes

Exemple résolu Suite transformée par inversion réservé aux comptes

Propriété Termes et somme d’une suite arithmétique

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite arithmétique de raison \(r\).

\[\forall n\in\mathbb{N},\qquad u_n=u_0+nr\]

\[\forall(n,p)\in\mathbb{N}^2,\qquad u_n=u_p+(n-p)r\]

\[\forall(n,n_0)\in\mathbb{N}^2,\qquad \sum_{k=n_0}^{n}u_k=\frac{(n-n_0+1)(u_{n_0}+u_n)}{2}\]

Remarques Remarques

Remarque Somme par premier et dernier terme

\[\sum_{k=n_0}^{n}u_k=\frac{(\text{nombre de termes de la somme})(\text{premier terme}+\text{dernier terme de la somme})}{2}\]

Remarque Somme des entiers naturels consécutifs

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb{N}}\) la suite définie par \(\forall n\in\mathbb{N},\ u_n=n\). \((u_n)\) est la suite arithmétique de raison \(1\) et de premier terme \(0\), et on a :

\[\sum_{k=n_0}^{n}u_k=\sum_{k=n_0}^{n}k=\frac{(n-n_0+1)(n+n_0)}{2}\]

Exemple résolu Calcul d’une somme de termes réservé aux comptes