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Compte

Module

Sommes

Domaine
Algèbre

Notation de sommation

Notation Notation de la somme

Soient \(x_0, x_1, \ldots, x_n\) (\(n+1\)) réels (ou complexes) quelconques. On note :

\[x_0+\ldots+x_n=\sum_{i=0}^{n}x_i\]

Plus généralement, si \(0\leq p\leq n\),

\[x_p+\ldots+x_n=\sum_{i=p}^{n}x_i\]

Remarques Remarques

Remarque Lettre sigma majuscule

\(\Sigma\) : lettre grecque « sigma majuscule ».

Remarque Lecture d’une somme

\(\sum_{i=0}^{n}x_i\) se lit « somme pour \(i\) prenant les valeurs de \(0\) à \(n\) des \(x_i\) ».

Remarque Variable muette

La variable \(i\) est muette c’est-à-dire elle peut être remplacée par une autre lettre (non utilisée auparavant) :

\[x_p+\ldots+x_n=\sum_{i=p}^{n}x_i=\sum_{k=p}^{n}x_k\]
Remarque Indépendance de la variable muette

Le résultat d’une somme ne peut pas dépendre de la variable muette.

Remarque Nombre de termes d’une somme

La somme \(\sum_{i=p}^{n}x_i\) comporte \(n-p+1\) termes.

Exemple résolu Écriture de sommes réservé aux comptes

Règles de calcul sur les sommes

Propriété Linéarité et découpage d’une somme

Soient \(p\) et \(n\) deux entiers naturels (\(p\leq n\)) et \(a_p,a_{p+1},\ldots,a_n,b_p,b_{p+1},\ldots,b_n,\lambda\) des réels (ou complexes).

\[\sum_{i=p}^{n}(a_i+b_i)=\sum_{i=p}^{n}a_i+\sum_{i=p}^{n}b_i\]
\[\sum_{i=p}^{n}(\lambda a_i)=\lambda\sum_{i=p}^{n}a_i\]
\[\forall j\in\left[\!\left[p,n\right]\!\right],\quad \sum_{i=p}^{n}a_i=\sum_{i=p}^{j}a_i+\sum_{i=j+1}^{n}a_i\]

En particulier,

\[\sum_{i=p}^{n}a_i=a_p+\sum_{i=p+1}^{n}a_i=a_n+\sum_{i=p}^{n-1}a_i\]
\[\left(\forall i\in\left[\!\left[p,n\right]\!\right],\ a_i\leq b_i\right)\Rightarrow\left(\sum_{i=p}^{n}a_i\leq\sum_{i=p}^{n}b_i\right)\]

Remarques Remarques

Remarque Combinaison linéaire de sommes
\[\sum_{i=p}^{n}(\lambda a_i+\mu b_i)=\lambda\sum_{i=p}^{n}a_i+\mu\sum_{i=p}^{n}b_i\]
Remarque Produits et quotients de sommes

En général, on a :

\[\sum_{i=p}^{n}(a_ib_i)\neq\left(\sum_{i=p}^{n}a_i\right)\left(\sum_{i=p}^{n}b_i\right)\]
\[\sum_{i=p}^{n}\frac{a_i}{b_i}\neq\frac{\sum_{i=p}^{n}a_i}{\sum_{i=p}^{n}b_i}\]

Exemple résolu Réécriture de sommes réservé aux comptes

Changement d’indice

Propriété Changement d’indice dans une somme

Soient \(l\), \(p\) et \(n\) des entiers naturels (\(p\leq n\)) et \(a_{p+l},a_{p+l+1},\ldots,a_{n+l}\) des réels (ou complexes).

\[\sum_{i=p}^{n}a_{i+l}=\sum_{k=p+l}^{n+l}a_k\quad\text{en posant }k=i+l\]

Remarques Remarques

Remarque Limite du changement d’indice

On ne peut pas effectuer n’importe quel changement d’indice.

Dans \(\sum_{i=0}^{3}a_{2i}\), on ne peut pas effectuer le changement d’indice \(j=2i\) puisque

\[\sum_{i=0}^{3}a_{2i}=a_0+a_2+a_4+a_6\qquad\text{et}\qquad\sum_{j=0}^{6}a_j=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6\]

Exemple résolu Complétion de changements d’indice réservé aux comptes

Sommes usuelles

Propriété Sommes de constantes et d’entiers naturels consécutifs

Soient \(p\) et \(n\) deux entiers naturels (\(p\leq n\)), \(q\) une constante.

\[\sum_{i=p}^{n}q=(n-p+1)q=(\text{nombre de termes de la somme})\times\text{constante}\]
\[\sum_{k=0}^{n}k=\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}\]

Plus généralement, on a :

\[\sum_{k=p}^{n}k=\frac{(n-p+1)(n+p)}{2}\]

somme d’entiers naturels consécutifs \(=\frac{(\text{nombre de termes de la somme})\times(\text{premier terme}+\text{dernier terme de la somme})}{2}\).

Exemple résolu Calcul de sommes usuelles réservé aux comptes

Exemple résolu Sommes à calculer réservé aux comptes

Sommes géométriques

Propriété Somme des termes d’une suite géométrique

Somme des \(n+1\) premiers termes de la suite géométrique de raison \(q\) et de premier terme \(1\).

\[\sum_{i=0}^{n}q^i=1+q+q^2+\ldots+q^n=\begin{cases}\frac{1-q^{n+1}}{1-q}&\text{si }q\neq1\\n+1&\text{si }q=1\end{cases}\]

Plus généralement, on a :

\[\sum_{i=p}^{n}q^i=\begin{cases}q^p\times\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}&\text{si }q\neq1\\n-p+1&\text{si }q=1\end{cases}\]
\[\sum_{i=p}^{n}q^i=\begin{cases}\text{premier terme de la somme}\times\frac{1-q^{\text{nombre de termes de la somme}}}{1-q}&\text{si }q\neq1\\\text{nombre de termes de la somme}&\text{si }q=1\end{cases}\]

Exemple résolu Calcul de sommes géométriques réservé aux comptes

Sommes télescopiques

Définition Somme télescopique

Soient \(p\) et \(n\) des entiers naturels (\(p\leq n\)) et \(a_p,a_{p+1},\ldots,a_{n+1}\) des réels (ou complexes).

On appelle somme télescopique toute somme du type

\[\sum_{i=p}^{n}(a_{i+1}-a_i)=a_{n+1}-a_p\]

Exemple résolu Calcul de sommes télescopiques réservé aux comptes