Module

Produit vectoriel de l’espace

Domaine: Géométrie de l’espace
Prérequis: Vecteurs de l’espace

Produit vectoriel

Définition Orientation de l’espace

L’espace est orienté en choisissant une base orthonormale directe \(\vec i,\vec j,\vec k\). La convention physique usuelle stipule qu’une base \(\vec i,\vec j,\vec k\) est dite directe s’il est possible de superposer les vecteurs \(\vec i\), \(\vec j\), \(\vec k\) respectivement au pouce, à l’index et au majeur de la main droite.

Définition Produit vectoriel

Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs de l’espace. On appelle produit vectoriel de \(\vec u\) par \(\vec v\), le vecteur noté \(\vec u\wedge\vec v\) défini par :

Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires, \(\vec u\wedge\vec v=\vec0\).

Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont non colinéaires:

\[\lVert\vec u\wedge\vec v\rVert=\lVert\vec u\rVert\times\lVert\vec v\rVert\times\left|\sin\widehat{(\vec u,\vec v)}\right|\]

La direction du vecteur \(\vec u\wedge\vec v\) est la direction orthogonale à \(\vec u\) et à \(\vec v\).

Le sens du vecteur \(\vec u\wedge\vec v\) est tel que la base \((\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v)\) soit une base directe.

Remarques Remarques

Remarque Norme et angle

Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont non colinéaires, on peut s’écrire :

\[\lVert\vec u\wedge\vec v\rVert=\lVert\vec u\rVert\times\lVert\vec v\rVert\times\sin\alpha\]

où \(\alpha\) est la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\) avec \(\vec u=\overrightarrow{AB}\), \(\vec v=\overrightarrow{AC}\) et \(\alpha\in[0,\pi]\).

Remarque Lecture

\(\vec u\wedge\vec v\) se lit « \(\vec u\) vectoriel \(\vec v\) »

Remarque Base usuelle

Soit \((\vec i,\vec j,\vec k)\) la base usuelle de l’espace. C’est une base orthonormale directe.

\[\vec i\wedge\vec j=\vec k\quad\vec j\wedge\vec k=\vec i\quad\vec k\wedge\vec i=\vec j\quad\vec j\wedge\vec i=-\vec k\quad\vec k\wedge\vec j=-\vec i\quad\vec i\wedge\vec k=-\vec j\]

Remarque Base orthonormale directe

Si \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux et unitaires, alors \((\vec u,\vec v,\vec u\wedge\vec v)\) est une base orthonormale directe.

Figure Base orthonormale directe et produit vectoriel

Figure associée à la quatrième remarque sur le produit vectoriel.

Propriété Bilinéarité et antisymétrie

Le produit vectoriel est bilinéaire et antisymétrique, c’est-à-dire, on a, pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) de l’espace, et pour tous réels \(a\) et \(b\) :

\[\vec u\wedge(a\vec v+b\vec w)=a\vec u\wedge\vec v+b\vec u\wedge\vec w\]

\[(a\vec u+b\vec v)\wedge\vec w=a\vec u\wedge\vec w+b\vec v\wedge\vec w\]

\[\vec u\wedge\vec v=-\vec v\wedge\vec u\]

Théorème Coordonnées du produit vectoriel

Soit \((\vec i,\vec j,\vec k)\) une base orthonormale directe de l’espace. Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) deux vecteurs tels que \(\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k\) et \(\vec v=x'\vec i+y'\vec j+z'\vec k\). Alors :

\[\vec u\wedge\vec v=\begin{vmatrix}y&y'\\z&z'\end{vmatrix}\vec i+\begin{vmatrix}z&z'\\x&x'\end{vmatrix}\vec j+\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}\vec k\]