Module
Primitives exponentielles et trigonométriques
- Domaine
- Analyse
Primitives exponentielles et trigonométriques
Propriété Dérivée de l’exponentielle complexe
Soit \(\alpha\) un complexe.
\[\begin{aligned}f:\mathbb{R}&\longrightarrow\mathbb{C}\\t&\longmapsto e^{\alpha t}\end{aligned}\quad\text{est dérivable sur }\mathbb{R}\quad\text{et}\quad\left(e^{\alpha t}\right)'=\alpha e^{\alpha t}\]
Corollaire Primitives de l’exponentielle complexe
Si \(\alpha\) est un complexe non nul, les primitives de \(x\mapsto e^{\alpha x}\) sont les fonctions suivantes :
\[x\longmapsto\dfrac{1}{\alpha}e^{\alpha x}+\lambda,\quad\lambda\in\mathbb{C}\]
Méthode Primitives de produits exponentiels et trigonométriques
On écrit :
\[e^{kx}\cos(px)=\operatorname{Re}\left(e^{ipx}\right)e^{kx}=\operatorname{Re}\left(e^{(k+ip)x}\right)\]
\(e^{kx}\) est un réel.
\[e^{kx}\sin(px)=\operatorname{Im}\left(e^{ipx}\right)e^{kx}=\operatorname{Im}\left(e^{(k+ip)x}\right)\]
\(e^{kx}\) est un réel.
Il reste à déterminer la forme algébrique d’une primitive de \(x\mapsto e^{(k+ip)x}\) et à conclure selon l’énoncé.
\[\int e^{(k+ip)x}\,dx=\dfrac{1}{k+ip}e^{(k+ip)x}+K=\dfrac{k-ip}{k^2+p^2}e^{kx}\left(\cos(px)+i\sin(px)\right)+K,\quad K\in\mathbb{C}\]
Propriété Formules de primitives exponentielles et trigonométriques
\[\int e^{kx}\cos(px)\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k^2+p^2}\left(k\cos(px)+p\sin(px)\right)+C,\quad C\in\mathbb{R}\]
\[\int e^{kx}\sin(px)\,dx=\dfrac{e^{kx}}{k^2+p^2}\left(k\sin(px)-p\cos(px)\right)+C,\quad C\in\mathbb{R}\]
Exemple résolu Primitive d’un produit exponentiel et trigonométrique réservé aux comptes
Explication Forme des primitives étudiées