Module
Opérations élémentaires sur les lignes d’un système linéaire
- Domaine
- Algèbre
- Prérequis
- Systèmes linéaires
Opérations élémentaires sur les lignes
Définition Opérations élémentaires sur les lignes d’un système
Soit \((S)\) un système à \(n\) équations à \(p\) inconnues.
Notons \(L_1,L_2,\ldots,L_n\) les équations successives de \((S)\).
On définit sur ces équations les opérations suivantes dites élémentaires :
l’échange de deux équations \(L_i\) et \(L_j\), on note \(L_i\longleftrightarrow L_j\) ;
le remplacement de l’équation \(L_i\) par la ligne \(L_i\) qui a été multipliée par un nombre non nul \(a\) (les deux membres de l’équation \(L_i\) sont multipliés par \(a\)), on note \(L_i\leftarrow aL_i\) ;
le remplacement de l’équation \(L_i\) par la somme des équations distinctes \(L_i\) et \(bL_j\) \((i\ne j)\), on note \(L_i\leftarrow L_i+bL_j\).
Exemple résolu Opérations élémentaires sur un système et sa matrice augmentée réservé aux comptes
Théorème Conservation de l’équivalence par opérations élémentaires
Soit \((S)\) un système linéaire.
(admis)
Tout système obtenu à partir de \((S)\) en transformant l’une de ces équations à l’aide des opérations élémentaires sur les lignes est équivalent à \((S)\).
Remarques Remarques
Remarque Combinaison linéaire de lignes
Des opérations du type \(L_i\leftarrow aL_i+bL_j\), avec \(a\ne0\), transforment également un système en un système équivalent.
Si on passe d’un système \((S)\) à un autre système \((S')\) par une suite finie d’opérations élémentaires sur les lignes, la matrice augmentée de \((S')\) s’obtient en faisant la même suite d’opérations élémentaires sur la matrice augmentée de \((S)\).
Remarque Opérations élémentaires simultanées
Attention aux opérations élémentaires simultanées !
Ne pas faire en même temps, par exemple, \(L_1\leftarrow L_1-L_2\) et \(L_2\leftarrow L_2-L_1\) !
Exemple résolu Résolution d’un système triangulaire réservé aux comptes
Remarque Opérations sur la matrice augmentée
On définit, de la même façon, des opérations élémentaires sur la matrice augmentée de \((S)\).