Module

Nombres complexes

Domaine: Algèbre
Prérequis: Ensembles usuels de nombres

Généralités sur les nombres complexes

Théorème Ensemble des nombres complexes

Il existe un ensemble noté \(\mathbb C\), appelé ensemble des nombres complexes, qui possède les propriétés suivantes.

\(\mathbb C\) contient l’ensemble des nombres réels.
L’addition et la multiplication des nombres réels se prolongent aux nombres complexes, et les règles de calcul restent les mêmes.
Il existe un nombre complexe noté \(i\) tel que \(i^2=-1\).
Tout nombre complexe \(z\) s’écrit de manière unique \(z=x+iy\), avec \((x,y)\in\mathbb R^2\).

Définition Forme algébrique et parties d’un nombre complexe

L’écriture \(x+iy\) est appelée forme algébrique de \(z\).

Le réel \(x\) est appelé partie réelle de \(z\), notée \(\operatorname{Re}(z)\).

Le réel \(y\) est appelé partie imaginaire de \(z\), notée \(\operatorname{Im}(z)\).

Un nombre complexe \(z\) est dit réel si \(\operatorname{Im}(z)=0\).

Un nombre complexe \(z\) est dit imaginaire pur si \(\operatorname{Re}(z)=0\).

Opérations dans les nombres complexes

Propriété Opérations sur les formes algébriques

Soit \((x,x',y,y')\in\mathbb R^4\).

\[x+iy=x'+iy'\Longleftrightarrow x=x'\ \text{et}\ y=y'\]

\[(x+iy)+(x'+iy')=(x+x')+i(y+y')\]

\[(x+iy)\times(x'+iy')=xx'-yy'+i(xy'+x'y)\]

Remarques Remarques

Remarque Produits des parties réelle et imaginaire

\[\forall(z,z')\in\mathbb C^2,\quad \operatorname{Re}(zz')\ne\operatorname{Re}(z)\times\operatorname{Re}(z')\ \text{et}\ \operatorname{Im}(zz')\ne\operatorname{Im}(z)\times\operatorname{Im}(z')\]

Remarque Sommes et produits de complexes

Soient \(n\in\mathbb N^*\) et \(z_1,\ldots,z_n\) des nombres complexes.

\[\operatorname{Re}\left(\sum_{i=1}^{n}z_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Re}(z_i)\qquad \operatorname{Im}\left(\sum_{i=1}^{n}z_i\right)=\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Im}(z_i)\]

\[\operatorname{Re}\left(\prod_{i=1}^{n}z_i\right)\ne\prod_{i=1}^{n}\operatorname{Re}(z_i)\qquad \operatorname{Im}\left(\prod_{i=1}^{n}z_i\right)\ne\prod_{i=1}^{n}\operatorname{Im}(z_i)\]

Propriété Identités et inverse d’un complexe

Les identités remarquables, valables dans \(\mathbb R\), le sont encore dans \(\mathbb C\).

\[(x+iy)^2=x^2-y^2+2ixy\qquad (x-iy)^2=x^2-y^2-2ixy\qquad (x+iy)(x-iy)=x^2+y^2\]

Tout nombre complexe non nul admet un inverse :

\[\forall(x,y)\in\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\},\quad \frac{1}{x+iy}=\frac{x-iy}{x^2+y^2}\]

Remarques Remarques

Remarque Parties d’un inverse

\[\forall(x,y)\in\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\},\quad \operatorname{Re}\left(\frac{1}{x+iy}\right)\ne\frac{1}{\operatorname{Re}(x+iy)}\qquad \operatorname{Im}\left(\frac{1}{x+iy}\right)\ne\frac{1}{\operatorname{Im}(x+iy)}\]

\[\forall(z,z')\in\mathbb C\times\mathbb C^*,\quad \operatorname{Re}\left(\frac{z}{z'}\right)\ne\frac{\operatorname{Re}(z)}{\operatorname{Re}(z')}\qquad \operatorname{Im}\left(\frac{z}{z'}\right)\ne\frac{\operatorname{Im}(z)}{\operatorname{Im}(z')}\]

Exemple résolu Forme algébrique de complexes réservé aux comptes

Représentation géométrique des nombres complexes

Définition Image et affixes

Soit \(\mathcal P\) le plan muni d’un repère orthonormé direct \((O,\vec u,\vec v)\). À tout nombre complexe \(z=x+iy\), avec \((x,y)\in\mathbb R^2\), on associe le point \(M\) de coordonnées \((x,y)\).

On appelle image du nombre complexe \(z=x+iy\) le point de coordonnées \((x,y)\). On appelle affixe d’un point \(M\) de coordonnées \((x,y)\), le complexe \(x+iy\).

On appelle affixe d’un vecteur \(\alpha\vec u+\beta\vec v\), le complexe \(\alpha+i\beta\).

Figure Image d’un nombre complexe dans un repère

Représentation géométrique d’un nombre complexe.

Exemple résolu Représentation de points et d’un vecteur réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Affixes de vecteurs et d’un milieu

Soient \(A\) et \(B\) deux points d’affixes respectives \(a\) et \(b\).

L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est \(b-a\).
L’affixe du vecteur \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) est \(a+b\).
L’affixe du vecteur \(\lambda\overrightarrow{OA}\) (\(\lambda\in\mathbb R^*\)) est \(\lambda a\).
L’affixe du milieu du segment \([AB]\) est \(\frac{a+b}{2}\).