Module

Indépendance des événements

Domaine: Probabilités
Prérequis: Probabilités sur un univers fini

Indépendance de deux événements

Définition Événements indépendants

Soit \((\Omega,p)\) un espace probabilisé fini.

Des événements \(A\) et \(B\) sont indépendants pour la probabilité \(p\) si

\[p(A \cap B)=p(A) \times p(B)\]

Remarque Indépendance et incompatibilité

Il ne faut pas confondre « événements incompatibles » et « événements indépendants ».

Soient \(A\) et \(B\) deux événements incompatibles : \(p(A \cap B)=0\).

\[p(A) \times p(B)=0 \Longleftrightarrow p(A)=0\ \text{ou}\ p(B)=0\]

Autrement dit, si \(A\) et \(B\) sont deux événements incompatibles avec \(p(A) \ne 0\) et \(p(B) \ne 0\) alors les événements \(A\) et \(B\) ne sont pas indépendants.

Exemple résolu Indépendance dans un jeu de cartes réservé aux comptes

Exemple résolu Indépendance pour deux dés réservé aux comptes

Propriété Indépendance et probabilité conditionnelle

Si \(p(B) \ne 0\), les événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si et seulement si \(p_B(A)=p(A)\).

Si \(A\) et \(B\) sont indépendants pour la probabilité \(p\), alors \(A\) et \(\overline{B}\) sont indépendants pour \(p\).

Exemple résolu Tirs successifs sur une cible réservé aux comptes

Indépendance de plusieurs événements

Définition Indépendance de plusieurs événements

Soient \(A_1,\ldots,A_n\) \(n\) événements.

Ces événements sont 2 à 2 indépendants si : \(\forall (i \ne j)\), \(A_i\) et \(A_j\) sont indépendants.

Ces événements sont (mutuellement) indépendants si, pour toute partie finie non vide \(J\) de \(\left[\!\left[ 1,n \right]\!\right]\), on a

\[p\left(\bigcap_{i \in J} A_i\right)=\prod_{i \in J}p(A_i)\]

Application Indépendance deux à deux de trois événements réservé aux comptes

Application Indépendance mutuelle de trois événements réservé aux comptes

Exemple résolu Indépendance pour deux lancers de dé réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Indépendance mutuelle et indépendance deux à deux

Des événements mutuellement indépendants sont 2 à 2 indépendants. Mais la réciproque est fausse, comme le montre l’exemple de deux lancers d’un dé.

Remarque Répétitions sans modification des conditions

On répète un certain nombre de fois la même expérience sans modification des conditions. En particulier, on lance plusieurs fois un dé ou une pièce, on effectue des tirages avec remise.