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Probabilités sur un univers fini

Définitions des probabilités finies

On appelle probabilité sur un univers fini \(\Omega\), toute application \(p\) de \(\mathcal{P}(\Omega)\) dans \([0,1]\) vérifiant :

\[p(\Omega)=1\]

Pour tous événements incompatibles \(A\) et \(B\), \(p(A \cup B)=p(A)+p(B)\).

Si \(p\) est une probabilité sur un univers fini \(\Omega\), on dit que le couple \((\Omega,p)\) est un espace probabilisé fini.

\[p(\varnothing)=0\]

\[\forall (A,B) \in \bigl(\mathcal{P}(\Omega)\bigr)^2,\quad p(\overline{A})=1-p(A)\]

\[A \subset B \Rightarrow p(A) \le p(B)\]

\[p(A \cup B)=p(A)+p(B)-p(A \cap B)\]

(admise)

Soit \(\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\ldots,\omega_n\}\). Si \(p\) est une probabilité sur \(\Omega\), on a :

\[\forall k \in \left[\!\left[ 1,n \right]\!\right],\quad p(\{\omega_k\}) \ge 0\quad\text{et}\quad \sum_{k=1}^{n}p(\{\omega_k\})=1\]

Soient \(p_1,p_2,\ldots,p_n\) \(n\) réels tels que :

\[\forall k \in \left[\!\left[ 1,n \right]\!\right],\quad p_k \ge 0\quad\text{et}\quad \sum_{k=1}^{n}p_k=1\]

alors on admet qu’il existe une unique probabilité \(p\) sur \(\Omega\) telle que :

\[\forall k \in \left[\!\left[ 1,n \right]\!\right],\quad p_k=p(\{\omega_k\})\]

\[\forall A \in \mathcal{P}(\Omega),\quad p(A)=\sum_{\omega_i \in A}p_i\]

Soit \((\Omega,p)\) un espace probabilisé fini. On dit qu’il y a équiprobabilité lorsque les probabilités de tous les événements élémentaires sont égales.

(admis)

Soit \(p\) la probabilité uniforme sur un univers fini \(\Omega\).

Pour tout événement \(A\), on a :

\[p(A)=\frac{\operatorname{card} A}{\operatorname{card} \Omega}\]

autrement dit, on a :

\[p(A)=\frac{\text{nombre d’issues favorables à }A}{\text{nombre d’issues possibles}}\]

Exemple résolu Somme de deux dés équilibrés réservé aux comptes

Exemple résolu Tirage dans un jeu de cartes réservé aux comptes