Formule du binôme de Newton

Factorielle d’un entier naturel

Définition Factorielle d’un entier naturel non nul

Soit \(n\) un entier naturel non nul.

On appelle le nombre factorielle \(n\), noté \(n!\), le produit des entiers de \(1\) à \(n\).

\[n!=1\times2\times\cdots\times n=\prod_{i=1}^{n}i\]

Par convention, on pose : \(0!=1\).

Exemple résolu Simplification d’un quotient de factorielles réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Relation de récurrence de la factorielle

Soit \(n\) un entier naturel. On a :

\[(n+1)!=(n+1)\times n!=(n+1)\times n\times(n-1)!\]

Remarque Écriture de la factorielle

Attention à l’écriture !

\[(2n)!\ne 2n!\]

Coefficients binomiaux

Définition Coefficient binomial

Soient \(n\) et \(p\) deux entiers naturels.

On appelle coefficient binomial « \(p\) parmi \(n\) » le nombre noté \(\binom{n}{p}\) défini par :

\[\binom{n}{p}=\begin{cases}\dfrac{n!}{p!(n-p)!}=\dfrac{n(n-1)\cdots(n-p+1)}{p!} & \text{si }p\leq n,\\[4pt]0 & \text{si }p>n.\end{cases}\]

Exemple résolu Calcul de coefficients binomiaux réservé aux comptes

Exemple résolu Calcul de coefficients binomiaux particuliers réservé aux comptes

Relation de Pascal

Propriété Relation de Pascal

Si \(n\) et \(p\) sont deux entiers naturels, alors on a :

\[\binom{n+1}{p+1}=\binom{n}{p}+\binom{n}{p+1}\]

Le triangle de Pascal permet de retrouver les valeurs des premiers coefficients binomiaux grâce à la relation de Pascal.

Tableau Triangle de Pascal

Valeurs des coefficients binomiaux.

\(n\backslash p\)	\(p=0\)	\(p=1\)	\(p=2\)	\(p=3\)	\(p=4\)	\(p=5\)
\(n=0\)	1	0	0	0	0	0
\(n=1\)	1	1	0	0	0	0
\(n=2\)	1	2	1	0	0	0
\(n=3\)	1	3	3	1	0	0
\(n=4\)	1	4	6	4	1	0
\(n=5\)	1	5	10	10	5	1

Figure Construction d’un coefficient binomial par la relation de Pascal

Schéma de la relation de Pascal.

Binôme de Newton

Théorème Développement du binôme de Newton

Soient \(a\) et \(b\) deux réels (ou deux complexes), \(n\) un entier naturel non nul.

\[\begin{aligned}(a+b)^n={}&a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\binom{n}{3}a^{n-3}b^3+\cdots\\&+\binom{n}{k}a^{n-k}b^k+\cdots+b^n\end{aligned}\]

\[(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k b^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]

Remarques Remarques

Remarque Développement d’une différence

\[(a-b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k(-b)^{n-k}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}(-b)^k=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(-1)^k a^{n-k}b^k\]

\[\begin{aligned}(a-b)^n={}&a^n-\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2-\binom{n}{3}a^{n-3}b^3+\cdots\\&+\binom{n}{k}(-1)^k a^{n-k}b^k+\cdots+(-1)^n b^n\end{aligned}\]

Exemple résolu Développements et sommes binomiales réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Identification des lettres

Attention aux lettres !

\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}3^k=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}3^k1^{n-k}=4^n\]

\[\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}3^n=3^n\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^k1^{n-k}=3^n2^n=6^n\]