Module
Fonction négligeable devant une autre
- Domaine
- Analyse
Généralités
Notation Cadre des comparaisons locales
Soit \(a\in \overline{\mathbb{R}}\), un élément ou une extrémité de \(I\).
Toutes les fonctions considérées appartiennent à \(\mathcal{F}(I,\mathbb{R})\) et sont définies au voisinage de \(a\).
Définition Négligeabilité d’une fonction devant une autre
Soient les fonctions \(f\) et \(\varphi\) vérifiant les hypothèses précédentes, \(\varphi\) ne s’annulant pas sur \(I\)\(\setminus\{a\}\).
On dit que \(f\) est négligeable devant \(\varphi\) au voisinage de \(a\) s’il existe une fonction \(\varepsilon\) telle que l’on ait, au voisinage de \(a\),
Caractérisation Caractérisation par le quotient
Exemples et négligeabilités usuelles
Exemple résolu Fonction oscillante multipliée par le carré de la variable réservé aux comptes
Exemple résolu Comparaison de puissances au voisinage de zéro réservé aux comptes
Exemple résolu Comparaison de puissances au voisinage de l’infini réservé aux comptes
Exemple résolu Croissances comparées des logarithmes et des exponentielles réservé aux comptes
Exemple résolu Produit d’une puissance et du logarithme au voisinage de zéro réservé aux comptes
Remarques et exercice
Remarques Remarques
Remarque Branche parabolique de direction horizontale
Si \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et si \(f(x)=o_{+\infty}(x)\) ou \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=0\), alors la courbe \(\mathcal{C}_f\) présente une branche parabolique de direction \((Ox)\).
Remarque Branche parabolique de direction verticale
Si \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et si \(x=o_{+\infty}(f(x))\) ou \(\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty\), alors la courbe \(\mathcal{C}_f\) présente une branche parabolique de direction \((Oy)\).
Remarque Différence de deux fonctions négligeables
On suppose : \(f_1(x)=o_0(x)\) et \(f_2(x)=o_0(x)\). Que peut-on dire de \(f_1(x)-f_2(x)\) ?
Remarque Multiplication d’une fonction négligeable par une puissance
Soient \(p\) et \(n\) deux entiers relatifs. On suppose que la fonction \(f\) est définie au voisinage de \(0\), négligeable devant \(x^n\). Que peut-on dire de \(x^pf(x)\) ?
Exercice Simplification d’écritures avec petit o réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Lecture de la notation de négligeabilité
\(f=o_a(\varphi)\) se lit « \(f\) est un petit \(o\) de \(\varphi\) au voisinage de \(a\) ».
Remarque Fonction prépondérante
On dit aussi que \(\varphi\) est prépondérante par rapport à \(f\) au voisinage de \(a\).
Remarque Négligeabilité devant un
Remarque Limite finie devant une divergence infinie
Si, en \(a\), \(f\) admet une limite finie et si \(g\) tend vers l’infini, alors on a \(f=o_a(g)\).