Module

Fonction arc sinus

Domaine: Trigonométrie
Prérequis: Fonction sinus

Fonction arc sinus

Propriété Restriction bijective de la fonction sinus

La fonction sinus est continue et strictement croissante sur \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), avec \(\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1\) et \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1\). Elle réalise donc une bijection de \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\) sur \([-1,1]\).

Définition Fonction réciproque de la restriction du sinus

On appelle fonction Arc sinus, notée \(\operatorname{Arcsin}\), la fonction réciproque de la restriction de la fonction sinus à l’intervalle \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\).

Propriété Bijection et identités de la fonction arc sinus

La fonction Arc sinus est une bijection de \([-1,1]\) sur \([-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\), continue et strictement croissante sur \([-1,1]\).

\[\forall x\in[-1,1],\quad \operatorname{Arcsin}x\text{ est l’unique angle de }[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\text{ dont le sinus vaut }x\]

\[\forall x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],\quad \operatorname{Arcsin}(\sin x)=x\]

\[\forall x\in[-1,1],\quad \sin(\operatorname{Arcsin}x)=x\]

Exemple résolu Calculs de valeurs de la fonction arc sinus réservé aux comptes

Exemple résolu Équations avec la fonction arc sinus réservé aux comptes

Remarques Remarques

Remarque Égalité de deux sinus

\[\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2,\quad \sin a=\sin b\Longleftrightarrow a=b+2k\pi\text{ ou }a=\pi-b+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}\]

Remarque Conservation de l’égalité par le sinus

\[\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2,\quad a=b\Longrightarrow\sin a=\sin b\]

Remarque Injectivité du sinus sur l’intervalle restreint

\[\forall(a,b)\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]^2,\quad \sin a=\sin b\Longleftrightarrow a=b\]

Tableau Valeurs remarquables de la fonction arc sinus

Tableau de valeurs remarquables.

\(x\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\operatorname{Arcsin}x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)

Propriété Parité de la fonction arc sinus

\[\forall x\in[-1,1],\quad \operatorname{Arcsin}(-x)=-\operatorname{Arcsin}x\]

La fonction Arc sinus est impaire.

Propriété Dérivabilité de la fonction arc sinus

La fonction Arc sinus définie sur \([-1,1]\) est dérivable sur \(]-1,1[\), et l’on a :

\[\forall x\in]-1,1[,\quad \operatorname{Arcsin}'x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\]

Corollaire Dérivée d’une composée avec la fonction arc sinus

Soit \(u\) une fonction définie et dérivable sur \(I\). Si \(\forall x\in I,\ |u(x)|\leq1\), la fonction \(\operatorname{Arcsin}\circ u\) est définie et continue sur \(I\).

Si \(\forall x\in I,\ |u(x)|<1\), la fonction \(\operatorname{Arcsin}\circ u\) est dérivable sur \(I\), et l’on a :

\[\forall x\in I,\quad (\operatorname{Arcsin}\circ u)'(x)=\frac{u'(x)}{\sqrt{1-u^2(x)}}\]

Exemple résolu Intégrale associée à la dérivée de la fonction arc sinus réservé aux comptes

Propriété Variations et représentation graphique de la fonction arc sinus

Tableau de variation et représentation graphique de la fonction Arc sinus.

Tableau Variations de la fonction arc sinus

Tableau de variations.

Figure Courbe de la fonction arc sinus

Représentation graphique de la fonction Arc sinus.

Exemple résolu Images par la fonction arc sinus au carré réservé aux comptes