Équations différentielles linéaires à coefficients constants

Définition Équation différentielle d’ordre \(n\)

\(n\) étant un entier naturel non nul, on appelle équation différentielle d’ordre \(n\) une relation de la forme

où \(y\) est une fonction inconnue de la variable réelle \(x\) à valeurs dans \(\mathbb{R}\) et \(y',\ldots,y^{(n)}\) ses dérivées successives (par rapport à \(x\)) jusqu’à l’ordre \(n\), telle que la fonction \(y^{(n)}\) y figure effectivement.

Exemple résolu Exemples d’équations différentielles réservé aux comptes

Définition Solution et solution générale d’une équation différentielle

Une solution de l’équation différentielle sur \(I\) est une fonction \(h\) dérivable jusqu’à l’ordre \(n\) sur \(I\) telle que l’on ait

Résoudre ou intégrer l’équation différentielle consiste à trouver l’ensemble de ses solutions sur les intervalles les plus grands possibles que l’on appelle aussi solution générale de l’équation différentielle.

Définition Équation différentielle linéaire à coefficients constants

\(n\) étant un entier naturel non nul, une équation différentielle d’ordre \(n\) est dite linéaire si la relation apparaît comme combinaison linéaire de \(y,y',\ldots,y^{(n)}\), c’est-à-dire

où \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) sont des fonctions de \(x\), \(y\) est une fonction inconnue de la variable réelle \(x\) et \(y',\ldots,y^{(n)}\) ses dérivées successives (par rapport à \(x\)) jusqu’à l’ordre \(n\), telle que la fonction \(y^{(n)}\) y figure effectivement.

Si de plus \(a_0,a_1,\ldots,a_n\) sont des constantes, on parle d’équation linéaire d’ordre \(n\) à coefficients constants.

Exercice Reconnaissance et vérification d’une solution réservé aux comptes