Module

Dérivée d’une fonction

Domaine: Analyse
Notations: Intervalle de définition des fonctions, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Dérivabilité et fonction dérivée

Définition Dérivabilité et nombre dérivé

Soient \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\) et \(x_0\in I\).

On dit que \(f\) est dérivable en \(x_0\) si la fonction \(\tau_{x_0}\), appelée taux d’accroissement de \(f\) entre \(x\) et \(x_0\), définie sur \(I\setminus\{x_0\}\), admet une limite finie en \(x_0\).

\[\tau_{x_0}(x)=\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]

Cette limite s’appelle nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\) et se note \(f'(x_0)\).

\[\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\]

Remarques Remarques

Remarque Limite du taux d’accroissement

Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), on a \(\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=f'(x_0)\).

Remarque Expression avec un accroissement nul

Il est souvent pratique de se ramener à une limite en \(0\), en considérant, pour \(x_0+h\in I\),

\[\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=f'(x_0)\]

Remarque Approximation locale par une droite

Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors la fonction \(x\mapsto\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)\) a une limite nulle en \(x_0\).

Il existe une fonction \(\varepsilon\) définie sur \(I\) par

\[\varepsilon(x)=\begin{cases}\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}-f'(x_0)&\text{si }x\ne x_0,\\0&\text{si }x=x_0\end{cases}\]

vérifiant :

\[\forall x\in I,\ f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+(x-x_0)\varepsilon(x)\quad\text{avec}\quad\lim_{x\to x_0}\varepsilon(x)=0\]

Au voisinage de \(x_0\), \(f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\) est une valeur approchée de \(f(x)\) avec une erreur égale à \((x-x_0)\varepsilon(x)\), où \(\varepsilon\) tend vers \(0\) en \(x_0\) :

\[f(x)\underset{x\to x_0}{\sim}f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)\]

Figure Courbe et droite d’approximation locale

Schéma de l’approximation locale.

Définition Fonction dérivée

Si \(f\) est dérivable en tout point de \(I\), on dit que \(f\) est dérivable sur \(I\).

La fonction définie sur \(I\) par \(x\mapsto f'(x)\) est appelée fonction dérivée de \(f\). Elle se note \(f'\).

Exemple résolu Dérivabilité de la racine carrée réservé aux comptes

Exemple résolu Limites de taux d’accroissement réservé aux comptes

Interprétation géométrique

Propriété Tangente à une courbe

Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors le réel \(f'(x_0)\) est égal au coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de \(f\) au point d’abscisse \(x_0\).

Si \(f\) est dérivable en \(x_0\), alors la courbe représentative de \(f\) admet au point d’abscisse \(x_0\) une tangente d’équation :

\[y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\]

Lorsque \(f\), continue en \(x_0\), n’est pas dérivable en \(x_0\), mais que le taux d’accroissement tend vers \(+\infty\) (ou \(-\infty\)), alors la courbe représentative de \(f\) admet au point d’abscisse \(x_0\) une tangente verticale.

Exemple résolu Tangentes de fonctions usuelles réservé aux comptes

Notation de Leibniz

Notation Dérivée comme quotient de différentielles

Lorsqu’on passe de \(x\) à \(x+h\), on donne un accroissement, positif ou négatif, à la variable \(x\) : on note cet accroissement \(\Delta x\).

\(y\) s’accroît de \(\Delta y=f(x+h)-f(x)\). On a donc :

\[f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\]

Lorsque \(\Delta x\) tend vers \(0\), on dit qu’il devient infinitésimal ; on le note \(dx\).

Lorsque \(\Delta x\) devient infinitésimal, \(\Delta y\) devient aussi infinitésimal, à condition que \(f\) soit continue ; on le note alors \(dy\).

Ainsi, on a :

\[f'(x)=\frac{dy}{dx}\]

C’est la notation de Leibniz, qui exprime la dérivée comme le quotient de deux quantités infinitésimales.

Figure Accroissements horizontal et vertical

Schéma des accroissements de la fonction.