Module

Égalité des accroissements finis

Domaine: Analyse
Notations: Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Égalité des accroissements finis

Théorème Existence d’une dérivée égale au taux d’accroissement

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).

Soit \(f\in \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R})\).

On suppose que \(f\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\).

\[\exists c\in]a,b[,\quad f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\]

Explication Interprétation graphique

Soient \(A\), \(B\) et \(M\) les points d’abscisses \(a\), \(b\) et \(c\) de la courbe représentative de \(f\).

La relation \(f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\) signifie que la pente de la droite \((AB)\) est égale à celle de la tangente à la courbe de \(f\) en \(M\).

Il existe au moins un point de la courbe représentative de \(f\) en lequel la tangente est parallèle à \((AB)\).

Figure Tangente parallèle à la droite sécante

Illustration graphique de l’égalité des accroissements finis.

Explication Interprétation cinématique

Pour un mouvement rectiligne où l’on repère le mobile par son abscisse \(x(t)\) à l’instant \(t\), la vitesse moyenne entre les instants \(t_1\) et \(t_2\) est

\[V_{\mathrm{moy}}=\frac{x(t_2)-x(t_1)}{t_2-t_1}=\frac{\Delta x}{\Delta t}\]

La vitesse instantanée à l’instant \(c\) est

\[\lim_{h\to0}\frac{x(c+h)-x(c)}{h}=V(c)=x'(c)\]

Si votre vitesse moyenne est de \(140\ \mathrm{km.h}^{-1}\), alors votre vitesse instantanée a été au moins une fois égale à \(140\ \mathrm{km.h}^{-1}\).

Exemple résolu Différence de deux racines carrées consécutives réservé aux comptes

Exemple résolu Inégalité logarithmique et somme harmonique réservé aux comptes

Inégalité des accroissements finis

Corollaire Inégalité des accroissements finis

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a<b\).

Soit \(f\in \mathcal{F}([a,b],\mathbb{R})\).

On suppose que \(f\) est continue sur \([a,b]\) et dérivable sur \(]a,b[\).

S’il existe un réel positif \(M\) vérifiant \(\forall t\in]a,b[,\ |f'(t)|\leq M\), alors on a :

\[\forall(x,y)\in[a,b]^2,\quad |f(x)-f(y)|\leq M|x-y|\]

Démonstration Preuve de l’inégalité des accroissements finis

1er cas : si \(x=y\), c’est fini.

2e cas : si \(x<y\), d’après l’égalité des accroissements finis, appliquée sur \([x,y]\), on a

\[\exists c\in]x,y[,\quad f'(c)=\frac{f(y)-f(x)}{y-x}\]

\[f(y)-f(x)=(y-x)f'(c)\quad\text{donc}\quad |f(y)-f(x)|=|(y-x)f'(c)|\]

\[c\in]x,y[\subset]a,b[\quad\text{donc}\quad |f'(c)|\leq M\quad\text{soit}\quad |f(y)-f(x)|\leq M|y-x|\]

3e cas : si \(y<x\), on échange \(x\) et \(y\) dans ce qui précède et c’est fini car \(|a-b|=|b-a|\).

Remarque Utilité pour l’étude de suites

Ces énoncés sont utiles pour étudier les suites \((u_n)\) du type \(u_{n+1}=f(u_n)\).