Module

Droites de l’espace

Domaine: Géométrie de l’espace
Prérequis: Vecteurs de l’espace

Droites

Définition Représentation paramétrique d’une droite de l’espace

Soit \((D)\) la droite passant par le point \(A(x_0,y_0,z_0)\) et de vecteur directeur \(\vec u\begin{pmatrix}\alpha\\\beta\\\gamma\end{pmatrix}\).

La droite \((D)\) est l’ensemble des points \(M\) tels que :

\[\overrightarrow{AM}=\lambda\vec u,\quad\lambda\in\mathbb R\]

On en déduit les coordonnées du point \(M\) par rapport au repère \((O,\vec i,\vec j,\vec k)\) :

\[\begin{cases}x=x_0+\lambda\alpha\\y=y_0+\lambda\beta\\z=z_0+\lambda\gamma\end{cases},\quad\lambda\in\mathbb R\]

Ces formules constituent une représentation paramétrique de la droite \((D)\).

Propriété Droite intersection de deux plans non parallèles

L’intersection de deux plans \((P_1)\) et \((P_2)\) non parallèles est une droite dirigée par le produit vectoriel de deux vecteurs normaux respectivement à \((P_1)\) et \((P_2)\).

Corollaire Système d’équations cartésiennes d’une droite

L’ensemble des points \(M(x,y,z)\) dans un repère orthonormal vérifiant le système d’équations cartésiennes suivant, avec \((a_1,b_1,c_1)\) et \((a_2,b_2,c_2)\) non proportionnels, est une droite :

\[\begin{cases}a_1x+b_1y+c_1z+d_1=0\\a_2x+b_2y+c_2z+d_2=0\end{cases}\]

Réciproquement, toute droite admet au moins un système d’équations de ce type.

Exercice Représentation paramétrique d’une droite définie par un système réservé aux comptes