Module
Décomposition en éléments simples dans \(\mathbb{R}\)
- Domaine
- Algèbre
Éléments simples de deuxième espèce
Définition Élément simple de deuxième espèce
Un élément simple de deuxième espèce est une fraction rationnelle de la forme
\[\frac{aX+b}{(cX^2+dX+e)^k}\quad\text{avec }(a,b,c,d,e)\in\mathbb{R}^5,\ k\in\mathbb{N}^*\text{ et }\Delta=d^2-4ce<0.\]
Décomposition en éléments simples
Théorème Décomposition unique
Toute fraction rationnelle irréductible s’écrit de façon unique comme somme de sa partie entière, des parties polaires relatives aux pôles réels et d’éléments simples de deuxième espèce.
(admis)
Exemple résolu Décomposition de fractions rationnelles réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Autre formulation
Soit \(F=\frac{P}{Q}\), une fraction rationnelle à coefficients réels, écrite sous forme irréductible.
Soit \(Q=\lambda\displaystyle\prod_{k=1}^{p}(X-\alpha_k)^{r_k}\prod_{k=1}^{q}(X^2+b_kX+c_k)^{s_k}\), avec \(b_k^2-4c_k<0\), la factorisation de \(Q\) dans \(\mathbb{R}[X]\).
Alors \(F\) s’écrit de manière unique de la façon suivante :
où \((\lambda_{k,j},c_{k,j},d_{k,j})\in\mathbb{R}^3\).
Remarque Calcul des coefficients
Si \(F\) est de partie entière nulle, le calcul de \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}xF(x)\) donne une relation entre certains coefficients. Lorsqu’il ne reste plus qu’un ou deux coefficients à déterminer, on peut substituer à \(X\) une ou deux valeurs simples.