Module

Covariance et coefficient de corrélation linéaire

Domaine: Probabilités
Prérequis: Couples de variables aléatoires réelles sur un univers fini, Indépendance de deux variables aléatoires réelles, Somme et produit de deux variables aléatoires réelles
Notations: Espace probabilisé fini support des variables aléatoires

Covariance

Définition Covariance de deux variables aléatoires

On appelle covariance de \(X\) et \(Y\), le réel noté \(\operatorname{cov}(X,Y)\) défini par :

\[\operatorname{cov}(X,Y)=E\bigl([X-E(X)][Y-E(Y)]\bigr).\]

Remarques Remarques

Remarque Covariance d’une variable avec elle-même

\[\operatorname{cov}(X,X)=V(X).\]

Remarque Symétrie de la covariance

\[\operatorname{cov}(X,Y)=\operatorname{cov}(Y,X).\]

Théorème Expression de la covariance par les espérances

\[\operatorname{cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y).\]

Corollaire Indépendance et covariance nulle

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes alors \(\operatorname{cov}(X,Y)=0\).

Remarques Remarques

Remarque Contraposée de l’indépendance et de la covariance nulle

Si \(\operatorname{cov}(X,Y)\ne 0\), alors \(X\) et \(Y\) ne sont pas indépendantes.

Remarque Absence de réciproque

La réciproque est fausse.

Exemple résolu Calcul de covariance à partir d’une loi conjointe réservé aux comptes

Théorème Variance d’une combinaison linéaire de deux variables

Pour tous réels \(a\) et \(b\), on a :

\[V(aX+bY)=a^2V(X)+b^2V(Y)+2ab\operatorname{cov}(X,Y).\]

Remarques Remarques

Remarque Variances de la somme et de la différence

\[V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\operatorname{cov}(X,Y).\]

\[V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2\operatorname{cov}(X,Y).\]

Remarque Covariance à partir de la variance de la somme

\[V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\operatorname{cov}(X,Y)\iff\operatorname{cov}(X,Y)=\frac{1}{2}\bigl(V(X+Y)-V(X)-V(Y)\bigr).\]

Corollaire Variance de la somme de variables indépendantes

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes alors \(V(X+Y)=V(X)+V(Y)\).

Remarque Variance de la différence de variables indépendantes

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes alors \(V(X-Y)=V(X)+V(Y)\).

Coefficient de corrélation linéaire

Définition Coefficient de corrélation linéaire

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires d’écart type non nul.

On appelle coefficient de corrélation linéaire de \(X\) et \(Y\), le réel :

\[\rho(X,Y)=\frac{\operatorname{cov}(X,Y)}{\sigma(X)\,\sigma(Y)}.\]

Remarques Remarques

Remarque Calcul de la covariance par une variance

\[V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\operatorname{cov}(X,Y)\iff\operatorname{cov}(X,Y)=\frac{1}{2}\bigl(V(X+Y)-V(X)-V(Y)\bigr).\]

Remarque Corrélation nulle et covariance nulle

\[\rho(X,Y)=0\iff\operatorname{cov}(X,Y)=0.\]

Propriété Bornes et indépendance du coefficient de corrélation

Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires d’écart type non nul.

\[\lvert\rho(X,Y)\rvert\leq 1.\]

Si \(X\) et \(Y\) sont indépendantes alors \(\rho(X,Y)=0\).

Explication Interprétation du coefficient de corrélation

Ce nombre est un réel compris entre \(-1\) et \(1\) qui compare les similitudes entre les lois de \(X\) et de \(Y\).

\(\lvert\rho(X,Y)\rvert=1\) si et seulement si, il existe deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(p(Y=aX+b)=1\).

Les valeurs intermédiaires renseignent sur le degré de dépendance linéaire entre les deux variables. Plus le coefficient est proche des valeurs extrêmes \(-1\) et \(1\), plus la corrélation entre les variables est forte ; on emploie simplement l’expression « fortement corrélées » pour qualifier les deux variables.

Un coefficient de corrélation égal à \(0\) signifie que \(\operatorname{cov}(X,Y)=0\) : on dit que les variables \(X\) et \(Y\) sont non corrélées.

Exemple résolu Corrélation de la somme et de la différence de deux dés réservé aux comptes