Module
Couples de variables aléatoires réelles sur un univers fini
- Domaine
- Probabilités
Couple, loi conjointe et lois marginales
Définition Couple de variables aléatoires réelles
Soit \((\Omega,p)\) un espace probabilisé fini.
\(X\) et \(Y\) sont deux variables aléatoires réelles définies sur \(\Omega\).
On appelle couple de variables aléatoires réelles, noté \(X,Y\), l’application suivante :
Définition Loi conjointe d’un couple
On appelle loi du couple \(X,Y\), ou encore loi conjointe des variables aléatoires réelles \(X\) et \(Y\), l’ensemble des couples \(((x_i,y_j),p_{ij})\) tels que :
Exemple résolu Lois de deux tirages avec remise réservé aux comptes
Propriété Critère de définition d’une loi conjointe
L’ensemble des couples \(((x_i,y_j),p_{ij})\) définit la loi d’un couple de variables aléatoires si et seulement si :
Définition Lois marginales d’un couple
La loi de \(X\) et la loi de \(Y\) sont appelées les lois marginales du couple \(X,Y\).
Propriété Calcul des lois marginales
Soit \(X,Y\) un couple de variables aléatoires réelles définies sur \(\Omega\).
Exemple résolu Lois marginales de deux tirages avec remise réservé aux comptes
Exemple résolu Loi conjointe de deux tirages de boules réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Détermination des lois marginales
La loi du couple \(X,Y\) permet de déterminer les lois marginales.
Remarque Limite des lois marginales
Mais les lois marginales ne permettent pas, en général, de déterminer la loi conjointe.
Remarques Remarques
Remarque Détermination de la loi du couple
Déterminer la loi du couple \(X,Y\), c’est déterminer \(X(\Omega)\), \(Y(\Omega)\), puis les \(p_{ij}\).
Remarque Système complet des événements élémentaires
Les événements \([(X=x_i)\cap(Y=y_j)]\) pour tout couple \((x_i,y_j)\) parcourant \(X(\Omega)\times Y(\Omega)\) forment un système complet d’événements de \(\Omega\).