Terme
Fonction de classe \(\mathcal{C}^n\)
- Expression
- fonction de classe \(\mathcal{C}^n\), fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\)
- Symbole
- \(\mathcal{C}^n(I)\)
- Termes plus larges
- Fonction \(n\) fois dérivable, Fonction continue sur un intervalle
- Termes plus spécifiques
- Développement limité, Fonction de classe \(\mathcal{C}^\infty\)
- Condition de définition
- Fonction \(n\) fois dérivable, Fonction continue sur un intervalle
- Condition de définition de
- Développement limité
- Généralisations
- Fonction de classe \(\mathcal{C}^\infty\)
Définition
Définition Fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\) et \(\mathcal{C}^\infty\)
Soit \(n\in \mathbb{N}^*\).
On dit que \(f\) est une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\) si \(f\) est \(n\) fois dérivable sur \(I\) et si \(f^{(n)}\) est continue sur \(I\).
Si, pour tout entier naturel \(n\), \(f\) est une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\), on dit que \(f\) est indéfiniment dérivable sur \(I\) ou de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(I\).
L’ensemble des fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\) est noté :
\[\mathcal{C}^n(I)\]
L’ensemble des fonctions indéfiniment dérivables est noté :
\[\mathcal{C}^\infty(I)=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\mathcal{C}^n(I)\]
Exemple résolu Fonction inverse sur les intervalles non nuls réservé aux comptes
Module : Fonctions de classe \(\mathcal{C}^k\) sur un intervalle
Remarques Remarques
Remarque Continuité des dérivées successives
Si \(f\) est une fonction de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\), alors \(f^{(n)}\) et toutes les dérivées précédentes de \(f\) sont continues sur \(I\).
Remarque Classes de régularité inférieures
\(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\) si et seulement si \(\forall p\in[0,n]\), \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^p\) sur \(I\).