Module

Probabilité conditionnelle

Domaine: Probabilités
Prérequis: Probabilités sur un univers fini

Définition de la probabilité conditionnelle

Définition Probabilité conditionnelle d’un événement

Soit \((\Omega,p)\) un espace probabilisé fini.

Soient \(A\) et \(B\) deux événements tels que \(p(B)>0\).

On appelle probabilité conditionnelle de \(A\) sachant \(B\), le réel

\[p_B(A)=\frac{p(A \cap B)}{p(B)}\]

Notation Notations de la probabilité conditionnelle

On le note aussi :

\[p_B(A)=p(A/B)\]

Exemple résolu Famille à deux enfants réservé aux comptes

Propriétés de la probabilité conditionnelle

Théorème Probabilité conditionnelle sur un univers

(admise)

Avec les notations précédentes, \(p_B\) est une probabilité sur \(\Omega\).

Corollaire Propriétés de la probabilité conditionnelle

Toutes les propriétés établies pour une probabilité quelconque sont vraies pour la probabilité conditionnelle \(p_B\).

Soit \(B\) un événement de probabilité non nulle.

Pour tout événement \(A\), on a :

\[p_B(\overline{A})=1-p_B(A)\]

Pour tous événements \(A_1\), \(A_2\), on a :

\[A_1 \subset A_2 \Rightarrow p_B(A_1) \le p_B(A_2)\]

\[p_B(A_1 \cup A_2)=p_B(A_1)+p_B(A_2)-p_B(A_1 \cap A_2)\]

Exemple résolu Calculs de probabilités conditionnelles réservé aux comptes

Exemple résolu Tirages sans remise dans une urne réservé aux comptes

Formules des probabilités conditionnelles

Propriété Formule du produit

Pour tous événements \(A\) et \(B\) de probabilité non nulle, on a :

\[p(A \cap B)=p_B(A) \times p(B)=p_A(B) \times p(A)\]

Exemple résolu Contrôle de qualité d’articles réservé aux comptes

Propriété Formule des probabilités composées

Formule des probabilités composées

Soient \(A_1,A_2,\ldots,A_n\), \(n\) événements (\(n \ge 2\)) tels que \(p(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-1}) \ne 0\).

\[p(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n)=p(A_1) \times p_{A_1}(A_2) \times p_{A_1 \cap A_2}(A_3) \times \ldots \times p_{A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_{n-1}}(A_n)\]

Exemple résolu Probabilités composées pour trois événements réservé aux comptes

Exemple résolu Probabilités composées pour quatre événements réservé aux comptes

Exemple résolu Tirages ordonnés dans un jeu de cartes réservé aux comptes

Exemple résolu Tirages de boules sans remise réservé aux comptes

Probabilités totales

Théorème Formule des probabilités totales

Formule des probabilités totales

Soit \(\{B_1,B_2,\ldots,B_n\}\) un système complet d’événements.

Pour tout événement \(A\), on a :

\[p(A)=\sum_{i=1}^{n}p(B_i \cap A)\]

Figure Décomposition d’un univers par un système complet

Décomposition d’un univers par un système complet d’événements.

Exemple résolu Probabilités totales avec un événement et son contraire réservé aux comptes

Exemple résolu Probabilités totales avec trois événements réservé aux comptes

Exemple résolu Tirage entre deux urnes réservé aux comptes

Exemple résolu Parapluie et conditions météorologiques réservé aux comptes

Formule de Bayes

Théorème Formule de Bayes

Formule de Bayes

Si \(A\) et \(B\) sont deux événements de probabilité non nulle, alors on a :

\[p_B(A)=\frac{p_A(B) \times p(A)}{p(B)}=\frac{p(A \cap B)}{p(B)}\]

Exemple résolu Tricheur et tirage d’un as réservé aux comptes