Module

Variance et écart type d’une variable aléatoire

Domaine: Probabilités
Prérequis: Espérance d’une variable aléatoire

Variance et écart type

Définition Variance et écart type d’une variable aléatoire

Soit \(X\) une variable aléatoire réelle définie sur \(\Omega\).

On appelle variance de \(X\), le réel noté \(V(X)\), défini comme l’espérance de \((X-E(X))^2\), autrement dit :

\[V(X)=E\left((X-E(X))^2\right)=\sum_{k\in X(\Omega)}(k-E(X))^2\,p(X=k)\]

On appelle écart type de \(X\), le réel noté \(\sigma(X)\), défini par :

\[\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\]

Définition Variable aléatoire réelle réduite

Si \(V(X)=1\), on dit que la variable aléatoire réelle \(X\) est réduite.

Propriétés de la variance et concentration

Remarques Remarques

Remarque Positivité de la variance

\((X-E(X))^2\) est une variable aléatoire réelle positive, donc \(V(X)\) est positive.

Remarque Dispersion autour de l’espérance

La variance et l’écart type sont des mesures de dispersion de \(X\) par rapport à \(E(X)\).

Remarque Variance comme moyenne pondérée des carrés d’écart

\(V(X)\) est la moyenne pondérée des carrés d’écart à la moyenne de \(X\), pondérés par les probabilités de chacune de ses valeurs.

Remarque Écart type comme écart moyen

L’écart type représente un écart moyen entre les valeurs prises par \(X\) et la moyenne de \(X\).

Plus il est grand, plus les valeurs prises par \(X\) sont étalées.

Plus il est petit, plus les valeurs prises par \(X\) sont centrées autour de la moyenne de \(X\).

Propriété Formule de Huyghens-Koenig

Soit \(X\) une variable aléatoire réelle définie sur \(\Omega\).

\[V(X)=E(X^2)-(E(X))^2\]

Exemple résolu Calcul de la variance et de l’écart type de \(X\) réservé aux comptes

Propriété Variance d’une combinaison affine

Si \(X\) est une variable aléatoire réelle définie sur \(\Omega\), alors, pour tout \((a,b)\in\mathbb{R}^2\) :

\[V(aX+b)=a^2V(X)\]

Remarque Écart type d’une combinaison affine

\[\sigma(aX+b)=\sqrt{V(aX+b)}=|a|\times\sigma(X)\]

Exemple résolu Variable centrée réduite associée à \(X\) réservé aux comptes

Théorème Inégalité de Bienaymé-Tchebychev

Soit \(X\) une variable aléatoire réelle définie sur \(\Omega\).

\[\forall\varepsilon>0,\quad p\left(|X-E(X)|\geq\varepsilon\right)\leq\dfrac{V(X)}{\varepsilon^2}\]

Remarque Interprétation de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev

\[X(\Omega)=\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}\]

\[|X-E(X)|\geq\varepsilon\Longleftrightarrow\left(X-E(X)\leq-\varepsilon\ \text{ou}\ \varepsilon\leq X-E(X)\right)\Longleftrightarrow\left(X\leq E(X)-\varepsilon\ \text{ou}\ E(X)+\varepsilon\leq X\right)\]

\(|X-E(X)|\geq\varepsilon\) représente les valeurs de \(X\) qui s’écartent de la moyenne de plus de \(\varepsilon\).

\(p(|X-E(X)|\geq\varepsilon)\) est la probabilité pour que \(X\) prenne des valeurs éloignées de \(E(X)\) d’au moins \(\varepsilon\).

Cet événement a une probabilité d’autant plus faible que l’on s’éloigne de la moyenne, c’est-à-dire que l’on augmente \(\varepsilon\), ce qui est logique.

Figure Écartement autour de l’espérance

Exemple résolu Application avec une espérance \(m\) et un écart type \(\sigma\) réservé aux comptes