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Algèbre

Notation de produit

Notation Notation du produit

Soient \(x_0,x_1,\ldots,x_n\) (\(n+1\)) réels (ou complexes) quelconques. On note :

\[x_0x_1\ldots x_n=\prod_{i=0}^{n}x_i\]

Plus généralement, si \(0\leq p\leq n\),

\[x_px_{p+1}\ldots x_n=\prod_{i=p}^{n}x_i\]

Remarques Remarques

Remarque Lettre pi majuscule

\(\Pi\) : lettre grecque « pi majuscule ».

Remarque Lecture d’un produit

\(\prod_{i=0}^{n}x_i\) se lit « produit pour \(i\) prenant les valeurs de \(0\) à \(n\) des \(x_i\) ».

Remarque Facteurs et termes

Les éléments intervenant dans un produit sont appelés des facteurs et non des termes.

On parle de termes lorsqu’on manipule des sommes.

Exemple résolu Calcul d’un produit constant réservé aux comptes

Règles de calcul sur les produits

Propriété Calcul sur les produits indexés

Soient \(p\) et \(n\) deux entiers naturels (\(p\leq n\)) et \(a_p,a_{p+1},\ldots,a_n,b_p,b_{p+1},\ldots,b_n,\lambda\) des réels (ou complexes).

\[\prod_{i=p}^{n}(a_i b_i)=\left(\prod_{i=p}^{n}a_i\right)\left(\prod_{i=p}^{n}b_i\right)\]
\[\prod_{i=p}^{n}(\lambda a_i)=\lambda^{n-p+1}\prod_{i=p}^{n}a_i\]
\[\forall j\in\left[\!\left[p,n\right]\!\right],\quad \prod_{i=p}^{n}a_i=\left(\prod_{i=p}^{j}a_i\right)\left(\prod_{i=j+1}^{n}a_i\right)\]

En particulier,

\[\prod_{i=p}^{n}a_i=a_n\times\prod_{i=p}^{n-1}a_i=a_p\times\prod_{i=p+1}^{n}a_i\]
\[\left(\forall i\in\left[\!\left[p,n\right]\!\right],\ 0\leq a_i\leq b_i\right)\Longrightarrow\prod_{i=p}^{n}a_i\leq\prod_{i=p}^{n}b_i\]

Remarques Remarques

Remarque Non-additivité des produits

En général, on a :

\[\prod_{i=p}^{n}(a_i+b_i)\ne\prod_{i=p}^{n}a_i+\prod_{i=p}^{n}b_i\]

Produits télescopiques

Définition Produit télescopique

Soient \(p\) et \(n\) deux entiers naturels (\(p\leq n\)) et \(a_p,a_{p+1},\ldots,a_{n+1}\) des réels non nuls (ou complexes).

On appelle produit télescopique tout produit du type :

\[\prod_{i=p}^{n}\frac{a_{i+1}}{a_i}=\frac{a_{n+1}}{a_p}\]

Exemple résolu Calcul d’un produit télescopique réservé aux comptes

Propriétés exponentielles et logarithmiques des produits

Propriété Exponentielle d’une somme

Soient \(p\) et \(n\) deux entiers naturels (\(p\leq n\)) et \(a_p,a_{p+1},\ldots,a_n\) des réels. On a :

\[\exp\left(\sum_{i=p}^{n}a_i\right)=\prod_{i=p}^{n}\exp(a_i)\]

Propriété Logarithme d’un produit

Soient \(p\) et \(n\) deux entiers naturels (\(p\leq n\)) et \(a_p,a_{p+1},\ldots,a_n\) des réels strictement positifs. On a :

\[\ln\left(\prod_{i=p}^{n}a_i\right)=\sum_{i=p}^{n}\ln(a_i)\]