Module

Points d’inflexion d’une courbe

Domaine: Analyse
Prérequis: Fonctions réelles d’une variable réelle, Dérivée d’une fonction
Notations: Ensemble de définition d’une fonction réelle, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Points d’inflexion

Définition Point d’inflexion d’une courbe

Soit \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\) et \(x_0\in I\).

On dit que le point \(\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)\) est un point d’inflexion de la courbe représentative de \(f\) si la tangente à la courbe représentative de \(f\) en ce point « traverse » la courbe.

Figure Tangente en un point d’inflexion

Tangente traversant la courbe en un point d’inflexion.

Propriété Caractérisation par la dérivée seconde

Soit \(f\in\mathcal{F}(I,\mathbb{R})\) et \(x_0\) un réel de \(I\) qui n’est pas une extrémité de \(I\).

Admis. On suppose que \(f\) est deux fois dérivable sur \(I\).

Le point \(\bigl(x_0,f(x_0)\bigr)\) est un point d’inflexion de la courbe représentative de \(f\) si et seulement si la dérivée seconde \(f''\) s’annule en changeant de signe en \(x_0\).

Remarque Recherche non systématique des points d’inflexion

La recherche des points d’inflexion n’est pas à faire systématiquement.

Exemple résolu Détermination de points d’inflexion réservé aux comptes