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Partie polaire d’une fraction rationnelle

Partie polaire relative à un pôle

\[F=\sum_{k=1}^{m}\frac{\lambda_k}{(X-\alpha)^k}+G\quad\text{avec }m\geq1\]

où \(G\) est une fraction rationnelle n’admettant pas \(\alpha\) pour pôle, et \((\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m)\in\mathbb{R}^m\).

On dit que \(\displaystyle\sum_{k=1}^{m}\frac{\lambda_k}{(X-\alpha)^k}\) est la partie polaire de \(F\), relative au pôle \(\alpha\).

Les fractions \(\displaystyle\frac{\lambda_k}{(X-\alpha)^k}\) sont des éléments simples de première espèce.

(admis)

\[F=\frac{P}{(X-\alpha)Q_1}\quad\text{avec }P(\alpha)\ne0\text{ et }Q_1(\alpha)\ne0.\]

La partie polaire relative au pôle simple \(\alpha\) est \(\displaystyle\frac{\lambda}{X-\alpha}\), avec

\[\lim_{x\to\alpha}\bigl[(x-\alpha)F(x)\bigr]=\lambda\]

\[F=\frac{P}{(X-\alpha)^2Q_1}\quad\text{avec }P(\alpha)\ne0\text{ et }Q_1(\alpha)\ne0.\]

Il existe donc \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) tels que

\[F=\frac{\lambda}{(X-\alpha)^2}+\frac{\mu}{X-\alpha}+G\]

où \(\alpha\) n’est pas un pôle de \(G\).

\[\lim_{x\to\alpha}\bigl[(x-\alpha)^2F(x)\bigr]=\lambda\]