Méthode de Newton

Méthode Approximation d’une solution par itération

La méthode de Newton consiste à approcher la solution d’une équation \(f(x)=0\) lorsque certaines conditions sont vérifiées.

On considère une fonction \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\), dérivable sur \(I\), avec \(f'\) continue et ne s’annulant pas sur \(I\). Soit \(x_0\) un réel de \(I\).

La tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(x_0\) a pour équation :

Elle coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse :

En réitérant le procédé, on construit une suite \((x_n)\) définie par

Si \((x_n)\) converge vers un réel \(c\), alors \((f(x_n))\) converge vers \(f(c)\) et \((f'(x_n))\) converge vers \(f'(c)\), car \(f\) et \(f'\) sont continues\(I\). Ainsi, par unicité de la limite, on a \(f(c)=0\).

Exemple résolu Résolution approchée d’une équation logarithmique réservé aux comptes