Module
Loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle
- Domaine
- Probabilités
Notations et transformations de variables aléatoires
Notation Événements associés à une variable aléatoire
Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{R}\), on note l’événement : \((X\in A)=\{\omega\in\Omega\mathbin{/}X(\omega)\in A\}\).
Pour tout \(x\) de \(\mathbb{R}\), on note les événements :
Exemple résolu Événements \(X=1\) et \(X\leq2\) réservé aux comptes
Propriété Composition d’une variable aléatoire par une fonction
Si \(X\) est une variable aléatoire réelle définie sur \(\Omega\).
Soit \(u\) une fonction définie sur \(X(\Omega)\).
Alors \(u\circ X\) est une autre variable aléatoire réelle, notée \(u(X)\).
Exemple résolu Carré d’une variable aléatoire réelle réservé aux comptes
Loi de probabilité
Définition Loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle
Soit \(X\) une variable aléatoire réelle définie sur \(\Omega\). La loi de probabilité de \(X\) est définie par la donnée des probabilités \(p(X=x)\), pour tout \(x\) de \(X(\Omega)\).
Exemple résolu Détermination d’une loi de probabilité réservé aux comptes
Théorème Critère d’existence d’une loi de probabilité
Soit \(I\) une partie finie de \(\mathbb{N}\).
Un ensemble \(\{(x_i,p_i),\,i\in I\}\) définit une loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle si on a :
Remarque Réalisation d’une loi de probabilité
Dans ces conditions, il existe un espace probabilisé fini \((\Omega,p)\) et une variable aléatoire réelle définie sur \(\Omega\) telle que \(X(\Omega)=\{x_i,\,i\in I\}\) et \(p(X=x_i)=p_i\).
Exemple résolu Loi paramétrée et loi du carré d’une variable réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Données nécessaires pour définir une loi discrète
Définir la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle discrète, c’est déterminer :
\(X(\Omega)=\{x_i,\,i\in I\}\) avec \(I\) une partie finie de \(\mathbb{N}\).
Pour tout \(i\) de \(I\), la valeur \(p(X=x_i)\).
Remarque Système complet des événements \(X=k\)
Soit \(X(\Omega)\) l’ensemble des valeurs prises par une variable aléatoire \(X\).
Les événements \((X=k)_{k\in X(\Omega)}\) forment un système complet d’événements de \(\Omega\).