Module

Fonctions puissances

Domaine: Analyse
Prérequis: Fonctions réelles d’une variable réelle

Fonctions puissances à exposant naturel non nul

Propriété Dérivée des fonctions puissances à exposant naturel non nul

La fonction puissance à exposant naturel non nul \(f_n:x\mapsto x^n\), avec \(n\in\mathbb{N}^*\), est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\), donc continue sur \(\mathbb{R}\).

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad f_n'(x)=nx^{n-1}\]

Tableau Variations selon la parité de l’exposant naturel

Les variations dépendent de la parité de \(n\).

\(n\) pair, \(f_n\) paire	\(n\) impair, \(f_n\) impaire

Figure Courbes de fonctions puissances à exposant naturel

Représentations graphiques de \(x\mapsto x^4\) et de \(x\mapsto x^3\).

Fonctions puissances à exposant entier négatif

Propriété Dérivée des fonctions puissances à exposant entier négatif

La fonction puissance à exposant entier négatif \(f_p:x\mapsto x^p\), avec \(p\in\mathbb{Z}_{-}^{*}\), est définie sur \(\mathbb{R}^*\), dérivable sur \(]-\infty,0[\) et \(]0,+\infty[\), donc continue sur ces deux intervalles.

\[\forall x\in\mathbb{R}^*,\quad f_p'(x)=px^{p-1}\]

Tableau Variations selon la parité de l’exposant entier négatif

Les variations dépendent de la parité de \(p\).

\(p\) pair, \(f_p\) paire	\(p\) impair, \(f_p\) impaire

Figure Courbes de fonctions puissances à exposant entier négatif

Représentations graphiques de \(x\mapsto x^{-2}\) et de \(x\mapsto x^{-5}\).

Fonctions puissances à exposant réel

Définition Fonction puissance à exposant réel

On appelle fonction puissance, toute fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par :

\[f_a:x\mapsto x^a=e^{a\ln x},\qquad a\in\mathbb{R}\]

Propriété Calculs sur les puissances à exposant réel

\[\forall(a,b)\in\mathbb{R}^2,\ \forall(x,y)\in(]0,+\infty[)^2,\quad x^ay^a=(xy)^a\qquad x^ax^b=x^{a+b}\qquad(x^a)^b=x^{ab}\qquad1^a=1\qquad x^0=1\qquad\ln(x^a)=a\ln x\]

Propriété Dérivée et monotonie des fonctions puissances à exposant réel

La fonction \(f_a\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et on a :

\[\forall x\in]0,+\infty[,\quad f_a'(x)=ax^{a-1}\]

La fonction \(f_a\) est strictement monotone sur \(]0,+\infty[\).

Propriété Limite et prolongement des fonctions puissances à exposant réel

\[\lim_{x\to0}f_a=\lim_{x\to0}\bigl(\exp(a\ln(x))\bigr)\]

\[\begin{cases}\lim_{x\to0}f_a=+\infty&\text{pour }a<0,\\\lim_{x\to0}f_a=0&\text{pour }a>0.\end{cases}\]

On peut donc prolonger la fonction \(f_a\) par continuité en posant :

\[g_a:\mathbb{R}_+\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto\begin{cases}g_a(x)=f_a(x)&\text{si }x>0,\\g_a(0)=0.&\end{cases}\]

Propriété Dérivabilité de la fonction prolongée au point zéro

Étude de la dérivabilité de \(g_a\) en \(0\).

\[\text{Pour }x\ne0,\quad\tau_0(x)=\frac{g_a(x)-g_a(0)}{x-0}=\frac{x^a}{x}=x^{a-1}=\exp\bigl[(a-1)\ln x\bigr]\]

\[\lim_{x\to0}\tau_0(x)=\begin{cases}+\infty&\text{si }0<a<1,\\1&\text{si }a=1,\\0&\text{si }a>1.\end{cases}\]

Si \(0<a<1\), \(g_a\) n’est pas dérivable en \(0\), mais la courbe présente une demi-tangente verticale au point \(O\).

Si \(a=1\), \(g_a\) est dérivable en \(0\), \(g_a'(0)=1\).

Si \(a>1\), \(g_a\) est dérivable en \(0\), \(g_a'(0)=0\).

Tableau Variations et représentations des fonctions puissances à exposant réel

Les variations dépendent du signe de \(a\).

\(a<0\)	\(0<a\)

Figure Familles de courbes de fonctions puissances à exposant réel

Représentation graphique des fonctions puissances pour \(a<0\), \(0<a<1\), \(a=1\) et \(a>1\).