Module
Fonctions de classe C¹ par morceaux
- Domaine
- Analyse
Régularité par morceaux
Définition Fonction de classe C¹ par morceaux sur un segment
Soit \(f\) une fonction définie sur le segment \([a,b]\), avec \(a<b\).
\(f\) est dite de classe \(\mathcal C^1\) par morceaux sur \([a,b]\) s’il existe un nombre fini de réels de \([a,b]\) :
tels que, pour tout \(i\in\left[\!\left[1,n-1\right]\!\right]\), la restriction de \(f\) à \(]x_i,x_{i+1}[\) soit prolongeable en une fonction \(\widetilde f_i\) de classe \(\mathcal C^1\) sur \([x_i,x_{i+1}]\).
Figure Fonction continue par morceaux non C¹ par morceaux
Exemple de représentation graphique d’une fonction continue par morceaux qui n’est pas de classe \(\mathcal C^1\) par morceaux.
Figure Fonction de classe C¹ par morceaux
Exemple de représentation graphique d’une fonction de classe \(\mathcal C^1\) par morceaux.
Définition Fonction périodique de classe C¹ par morceaux
Soit \(f\) une fonction \(T\)-périodique.
\(f\) est de classe \(\mathcal C^1\) par morceaux sur \(\mathbb R\) si elle est de classe \(\mathcal C^1\) par morceaux sur une période, c’est-à-dire sur un intervalle de la forme \([a,a+T]\), \(a\) étant un réel.
Exemple résolu Vérification de la classe C¹ sur une période réservé aux comptes
Remarque Critère graphique de la classe C¹ par morceaux
Graphiquement, il faut que la courbe de \(f\) n’aille pas à l’infini, n’admette pas de tangente verticale, de point anguleux.