Module

Dérivabilité et nombres dérivés latéraux

Domaine: Analyse
Notations: Intervalle des fonctions dérivables, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Dérivées à droite et à gauche en un point

Définition Dérivabilité et nombre dérivé à droite

On dit que \(f\) est dérivable à droite en \(a\) si la fonction \(\tau_a\), définie sur \(I\cap]a,+\infty[\) par

\[\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

admet une limite finie à droite en \(a\). Cette limite est appelée nombre dérivé à droite de \(f\) en \(a\) et est notée \(f'_d(a)\).

\[\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0^+}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'_d(a)\]

Définition Dérivabilité et nombre dérivé à gauche

On dit que \(f\) est dérivable à gauche en \(a\) si la fonction \(\tau_a\), définie sur \(I\cap]-\infty,a[\) par

\[\tau_a(x)=\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

admet une limite finie à gauche en \(a\). Cette limite est appelée nombre dérivé à gauche de \(f\) en \(a\) et est notée \(f'_g(a)\).

\[\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to0^-}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=f'_g(a)\]

Propriété Caractérisation par les dérivées latérales

Si \(a\) n’est pas une borne de \(I\), \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \(f\) est dérivable à droite et à gauche en \(a\), et on a \(f'_d(a)=f'_g(a)\).

Exemple résolu Dérivabilité de la valeur absolue en zéro réservé aux comptes

Exemple résolu Dérivabilité en zéro d’une fonction définie par morceaux réservé aux comptes

Exemple résolu Dérivabilité de \(|x^2-1|\) aux zéros de l’expression intérieure réservé aux comptes