Module
Critères de convergence des intégrales de fonctions positives
- Domaine
- Analyse
- Notations
- Ensemble des réels achevés
Cadre des critères de convergence
Critère de comparaison
Théorème Comparaison de deux intégrales de fonctions positives
Soient \(a\) un réel et \(b\) un réel de \(\overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\).
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et positives sur \([a,b[\) telles que l’on ait : \(\forall x\in[a,b[,\ 0\leq f(x)\leq g(x)\).
Si \(\int_a^b g(t)\,dt\) converge alors \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge.
Si \(\int_a^b f(t)\,dt\) diverge alors \(\int_a^b g(t)\,dt\) diverge.
Exemple résolu Nature d’intégrales par comparaison réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Contraposée du critère de comparaison
La contraposition de « Si \(\int_a^b g(t)\,dt\) converge alors \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge » est « Si \(\int_a^b f(t)\,dt\) diverge alors \(\int_a^b g(t)\,dt\) diverge ».
Remarque Cas sans conclusion par comparaison
Il existe deux cas où on ne peut rien dire.
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et positives sur \([a,b[\) telles que l’on ait : \(\forall x\in[a,b[,\ 0\leq f(x)\leq g(x)\).
Si \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge alors on ne peut rien dire pour \(\int_a^b g(t)\,dt\).
Si \(\int_a^b g(t)\,dt\) diverge alors on ne peut rien dire pour \(\int_a^b f(t)\,dt\).
Critère d’équivalence
Corollaire Même nature pour deux fonctions équivalentes
Soient \(a\) un réel et \(b\) un réel de \(\overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\).
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et positives sur \([a,b[\).
Si \(f\underset{b^-}{\sim}g\) alors les intégrales \(\int_a^b f(t)\,dt\) et \(\int_a^b g(t)\,dt\) sont de même nature.
Exemple résolu Nature d’intégrales par équivalence réservé aux comptes
Exemple résolu Nature d’intégrales avec logarithme réservé aux comptes
Exemple résolu Nature et calcul d’une intégrale rationnelle réservé aux comptes
Critère de négligeabilité
Corollaire Comparaison de deux intégrales par négligeabilité
Soient \(a\) un réel et \(b\) un réel de \(\overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\).
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et positives sur \([a,b[\) telles que \(f(t)\underset{t\to b^-}{=}o(g(t))\).
Si \(\int_a^b g(t)\,dt\) converge alors \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge.
Si \(\int_a^b f(t)\,dt\) diverge alors \(\int_a^b g(t)\,dt\) diverge.
Exemple résolu Nature d’intégrales par négligeabilité réservé aux comptes
Remarques Remarques
Remarque Cas sans conclusion par négligeabilité
Il existe deux cas où on ne peut rien dire.
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions continues et positives sur \([a,b[\) telles que \(f(t)\underset{t\to b^-}{=}o(g(t))\).
Si \(\int_a^b f(t)\,dt\) converge alors on ne peut rien dire pour \(\int_a^b g(t)\,dt\).
Si \(\int_a^b g(t)\,dt\) diverge alors on ne peut rien dire pour \(\int_a^b f(t)\,dt\).
Remarque Comparaison avec une intégrale de Riemann à l’infini
Soient \(b>0\) et \(f\) une fonction positive et continue sur \([b,+\infty[\).
Pour montrer que l’intégrale \(\int_b^{+\infty} f(t)\,dt\) converge, on choisit « judicieusement » un réel \(\alpha>1\) tel que \(\lim_{t\to+\infty}t^\alpha f(t)=0\), ou \(f(t)\underset{+\infty}{=}o\!\left(\frac{1}{t^\alpha}\right)\), ou \(\exists c>b,\ \forall t\geq c,\ 0<f(t)\leq\frac{1}{t^\alpha}\).
Pour montrer que l’intégrale \(\int_b^{+\infty} f(t)\,dt\) diverge, on choisit « judicieusement » un réel \(\alpha\leq1\) tel que \(\lim_{t\to+\infty}t^\alpha f(t)=+\infty\), ou \(\frac{1}{t^\alpha}\underset{+\infty}{=}o(f(t))\), ou \(\exists c>b,\ \forall t\geq c,\ 0<\frac{1}{t^\alpha}\leq f(t)\).
Remarque Comparaison avec une intégrale de Riemann près de zéro
Soient \(b>0\) et \(f\) une fonction positive et continue sur \(]0,b]\).
Pour montrer que l’intégrale \(\int_0^b f(t)\,dt\) converge, on choisit « judicieusement » un réel \(\alpha<1\) tel que \(\lim_{t\to0^+}t^\alpha f(t)=0\), ou \(f(t)\underset{0^+}{=}o\!\left(\frac{1}{t^\alpha}\right)\), ou \(\exists c\in]0,b],\ \forall 0<t\leq c,\ 0<f(t)\leq\frac{1}{t^\alpha}\).
Pour montrer que l’intégrale \(\int_0^b f(t)\,dt\) diverge, on choisit « judicieusement » un réel \(\alpha\geq1\) tel que \(\lim_{t\to0^+}t^\alpha f(t)=+\infty\), ou \(\frac{1}{t^\alpha}\underset{0^+}{=}o(f(t))\), ou \(\exists c\in]0,b],\ \forall 0<t\leq c,\ 0<\frac{1}{t^\alpha}\leq f(t)\).
Comparaison d’une série et d’une intégrale impropre
Théorème Même nature d’une série et d’une intégrale impropre
Soit \(n_0\) un entier naturel.
Soit \(f\) une fonction continue, positive et décroissante sur \([n_0,+\infty[\).
\(\sum_{n\geq n_0}f(n)\) et \(\int_{n_0}^{+\infty}f(t)\,dt\) sont de même nature.
Exemple résolu Nature de la série des inverses de \(n\ln n\) réservé aux comptes
Explication Fonctions considérées et extensions des critères
Dans ce paragraphe, on considère \(a\) un réel et \(b\) un élément de \(\overline{\mathbb{R}}\) tels que \(a<b\).
\(f\) et \(g\) désignent des fonctions continues et positives sur \([a,b[\).
Tous les énoncés de ce paragraphe peuvent s’adapter à des fonctions définies sur \(]a,b]\) avec \(a\) un élément de \(\overline{\mathbb{R}}\) et \(b\) un réel avec \(a<b\).
Les énoncés présentés dans ce paragraphe peuvent aussi s’appliquer aux fonctions négatives sur \([a,b[\), puisque les intégrales \(\int_a^b f(t)\,dt\) et \(\int_a^b-f(t)\,dt\) sont de même nature.
Ils peuvent aussi s’appliquer aux fonctions qui ne sont pas de signe constant sur \([a,b[\) : on pourra utiliser les méthodes présentées ci-dessous pour montrer que l’intégrale \(\int_a^b |f(t)|\,dt\) converge.