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Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles

Domaine: Analyse
Prérequis: Fonction logarithme népérien, Fonctions puissances, Fonction exponentielle

Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles

Théorème Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles

Si \(a\) et \(b\) sont deux réels strictement positifs, on a :

\[\lim_{x\to+\infty}\frac{(\ln x)^b}{x^a}=0\qquad\lim_{x\to0}x^a|\ln x|^b=0\qquad\lim_{x\to-\infty}|x|^b\exp(ax)=0\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{\exp(ax)}{x^b}=+\infty\]

Remarques Remarques

Remarque Passage à l’inverse pour les exposants négatifs

Si \(a\) et \(b\) sont deux réels strictement négatifs, on se ramène facilement par passage à l’inverse aux limites précédentes.

Exemple résolu Comparaison par passage à l’inverse réservé aux comptes

Remarque Absence d’indétermination dans les autres cas

Dans les autres cas, il n’y a aucune indétermination pour le calcul de limite.

Exemple résolu Limites sans indétermination réservé aux comptes