Module

Fonction exponentielle

Domaine: Analyse
Prérequis: Fonctions réelles d’une variable réelle

Fonction exponentielle

Définition Fonction exponentielle

La fonction exponentielle est l’unique fonction \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(f(0)=1\) et \(f'=f\).

On la note \(\exp\).

Corollaire Conséquences de la définition

\[\exp(0)=1\]

La fonction exponentielle \(\exp:x\mapsto\exp(x)\) est définie et dérivable sur \(\mathbb{R}\) :

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad(\exp x)'=\exp(x)\]

Propriétés de la fonction exponentielle

Propriété Calculs sur la fonction exponentielle

\[\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\quad\exp(x+y)=\exp x\,\exp y\]

\[\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\quad\exp(x-y)=\frac{\exp x}{\exp y}\]

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad\exp(-x)=\frac{1}{\exp x}\]

\[\forall x\in\mathbb{R},\ \forall n\in\mathbb{Z},\quad\exp(nx)=(\exp x)^n\]

\[\forall x\in\mathbb{R},\quad\exp(x)>0\]

Notation Nombre \(e\)

On note \(e\) \(=\exp(1)\). On a : \(e\simeq2{,}718\).

Corollaire Conséquences de la notation \(e\)

D’après les propriétés de la fonction exponentielle, on a : \(\forall n\in\mathbb{Z},\ \exp(n\times1)=(\exp1)^n=e^n\).

On étend cette notation à tout l’ensemble \(\mathbb{R}\), en posant : \(\forall x\in\mathbb{R},\ \exp(x)=e^x\).

\[e^0=1,\quad e^1=e\]

\[\forall(x,y)\in\mathbb{R}^2,\ \forall n\in\mathbb{Z},\quad e^{x+y}=e^x e^y;\quad e^{x-y}=\frac{e^x}{e^y};\quad e^{-x}=\frac{1}{e^x};\quad(e^x)^n=e^{nx}\]

Propriété Croissance de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).

Corollaire Comparaison par l’exponentielle

Pour tous réels \(x\) et \(y\), on a :

\[x<y\Longleftrightarrow e^x<e^y\qquad x=y\Longleftrightarrow e^x=e^y\]

Propriété Limites de la fonction exponentielle

\[\lim_{x\to+\infty}e^x=+\infty\qquad\lim_{x\to-\infty}e^x=0\]

\[\lim_{x\to0}\frac{e^x-1}{x}=1,\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x}=+\infty\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to-\infty}xe^x=0\]

Tableau Variations de la fonction exponentielle

Tableau de variations de la fonction exponentielle.

Figure Représentation graphique de la fonction exponentielle

Courbe croissante de la fonction exponentielle et droite en pointillés.

Propriété Asymptote de la fonction exponentielle

Comme on a : \(\lim_{x\to-\infty}e^x=0\), la courbe de la fonction exponentielle admet une asymptote d’équation \(y=0\).