Module
Fonction logarithme népérien
- Domaine
- Analyse
- Prérequis
- Fonction exponentielle
Fonction logarithme népérien
Définition Fonction logarithme népérien
La fonction logarithme népérien, notée \(\ln\), est la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) qui, à tout nombre \(x\) strictement positif, associe le nombre \(y\), noté \(\ln(x)\), dont l’exponentielle est \(x\).
Corollaire Conséquences de la définition
\[\forall x\in]0,+\infty[,\ \forall y\in\mathbb{R},\quad x=e^y\Longleftrightarrow y=\ln x\]
\[\ln(1)=0\qquad\ln(e)=1\]
\[\forall x\in]0,+\infty[,\quad\exp(\ln x)=x\]
\[\forall x\in\mathbb{R},\quad\ln(\exp x)=x\]
Propriété Symétrie des représentations graphiques
Dans un repère orthonormal, les représentations graphiques des fonctions exponentielle et logarithme népérien sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y=x\) (première bissectrice du repère).
Figure Symétrie des courbes exponentielle et logarithme
Courbes exponentielle et logarithme népérien avec première bissectrice.
Propriétés de la fonction logarithme népérien
Propriété Croissance et limites du logarithme népérien
La fonction logarithme népérien est continue et strictement croissante sur \(]0,+\infty[\) avec
\[\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty\]
Corollaire Comparaison par le logarithme népérien
\[\forall(x,y)\in]0,+\infty[^2,\quad x<y\Longleftrightarrow\ln x<\ln y\qquad x=y\Longleftrightarrow\ln x=\ln y\]
Propriété Calculs sur le logarithme népérien
\[\forall(x,y)\in(\mathbb{R}_+^*)^2,\quad\ln(xy)=\ln x+\ln y\]
\[\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\quad\ln\left(\frac{1}{x}\right)=-\ln x\]
\[\forall(x,y)\in(\mathbb{R}_+^*)^2,\quad\ln\left(\frac{x}{y}\right)=-\ln\left(\frac{y}{x}\right)=\ln x-\ln y\]
\[\forall n\in\mathbb{Z},\ \forall x\in\mathbb{R}_+^*,\quad\ln(x^n)=n\ln x\]
\[\forall x\in\mathbb{R}_+^*,\quad\ln(\sqrt{x})=\frac{1}{2}\ln(x)\]
Propriété Dérivée du logarithme népérien
\[\forall x\in]0,+\infty[,\quad(\ln x)'=\frac{1}{x}\]
Propriété Limites usuelles du logarithme népérien
\[\lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1,\qquad\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\qquad\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}=0\qquad\text{et}\qquad\lim_{x\to0^+}x\ln x=0\]
Remarque Asymptote du logarithme népérien
Comme \(\lim_{x\to0^+}\ln x=-\infty\), la courbe de la fonction \(\ln\) admet une asymptote d’équation \(x=0\).