On considère la droite des réels, munie du repère \((O,I)\).
Si \(A\) et \(B\) sont deux points d’abscisses respectives \(x\) et \(y\), alors \(OA=\lvert x\rvert\) et \(AB=\lvert y-x\rvert\).
Soit \(\varepsilon\in]0,+\infty[\). On a : \(\lvert x-y\rvert\leq\varepsilon\Longleftrightarrow-\varepsilon\leq x-y\leq\varepsilon\Longleftrightarrow y-\varepsilon\leq x\leq y+\varepsilon\).
On dit que le nombre \(y\) est une valeur approchée de \(x\) à \(\varepsilon\) près (ou à la précision \(\varepsilon\)).
L’erreur commise en remplaçant \(x\) par \(y\) est inférieure à \(\varepsilon\).
L’amplitude (ou la longueur) de cet encadrement est \(2\varepsilon\).
Si on a : \(y\leq x\leq y+\varepsilon\), \(y\) est une valeur approchée de \(x\) par défaut à \(\varepsilon\) près.
Si on a : \(y-\varepsilon\leq x\leq y\), \(y\) est une valeur approchée de \(x\) par excès à \(\varepsilon\) près.
Si on a : \(a\leq x_0\leq b\), on peut choisir comme valeur approchée de \(x_0\), le réel \(\frac{b+a}{2}\) qui est une valeur approchée de \(x_0\) à \(\frac{b-a}{2}\) près.
Figure Distance entre points de la droite des réels
Droite des réels avec les points \(O\), \(A\) et \(B\).
Remarque Lien entre distance et valeur absolue
On considère la droite des réels, munie du repère \((O,I)\).
Si \(A\) et \(B\) sont deux points d’abscisses respectives \(x\) et \(y\), alors \(OA=\lvert x\rvert\) et \(AB=\lvert y-x\rvert\).
Soit \(\varepsilon\in]0,+\infty[\). On a : \(\lvert x-y\rvert\leq\varepsilon\Longleftrightarrow-\varepsilon\leq x-y\leq\varepsilon\Longleftrightarrow y-\varepsilon\leq x\leq y+\varepsilon\).
On dit que le nombre \(y\) est une valeur approchée de \(x\) à \(\varepsilon\) près (ou à la précision \(\varepsilon\)).
L’erreur commise en remplaçant \(x\) par \(y\) est inférieure à \(\varepsilon\).
L’amplitude (ou la longueur) de cet encadrement est \(2\varepsilon\).
Si on a : \(y\leq x\leq y+\varepsilon\), \(y\) est une valeur approchée de \(x\) par défaut à \(\varepsilon\) près.
Si on a : \(y-\varepsilon\leq x\leq y\), \(y\) est une valeur approchée de \(x\) par excès à \(\varepsilon\) près.
Si on a : \(a\leq x_0\leq b\), on peut choisir comme valeur approchée de \(x_0\), le réel \(\frac{b+a}{2}\) qui est une valeur approchée de \(x_0\) à \(\frac{b-a}{2}\) près.
Figure Distance entre points de la droite des réels
Droite des réels avec les points \(O\), \(A\) et \(B\).