Module

Valeur absolue d’un réel

Domaine: Analyse
Prérequis: Ensembles usuels de nombres
Notations: Ensemble de définition d’une fonction réelle, Espace des fonctions de \(I\) dans \(\mathbb{R}\)

Valeur absolue d’un réel

Définition Valeur absolue d’un réel

On définit la valeur absolue d’un réel \(x\) par :

\[\lvert x\rvert=\max(x,-x)=\begin{cases}x&\text{si }x\geq 0\\-x&\text{si }x<0\end{cases}\]

Remarque Lien entre distance et valeur absolue

On considère la droite des réels, munie du repère \((O,I)\).

Si \(A\) et \(B\) sont deux points d’abscisses respectives \(x\) et \(y\), alors \(OA=\lvert x\rvert\) et \(AB=\lvert y-x\rvert\).

Soit \(\varepsilon\in]0,+\infty[\). On a : \(\lvert x-y\rvert\leq\varepsilon\Longleftrightarrow-\varepsilon\leq x-y\leq\varepsilon\Longleftrightarrow y-\varepsilon\leq x\leq y+\varepsilon\).

On dit que le nombre \(y\) est une valeur approchée de \(x\) à \(\varepsilon\) près (ou à la précision \(\varepsilon\)).

L’erreur commise en remplaçant \(x\) par \(y\) est inférieure à \(\varepsilon\).

L’amplitude (ou la longueur) de cet encadrement est \(2\varepsilon\).

Si on a : \(y\leq x\leq y+\varepsilon\), \(y\) est une valeur approchée de \(x\) par défaut à \(\varepsilon\) près.

Si on a : \(y-\varepsilon\leq x\leq y\), \(y\) est une valeur approchée de \(x\) par excès à \(\varepsilon\) près.

Si on a : \(a\leq x_0\leq b\), on peut choisir comme valeur approchée de \(x_0\), le réel \(\frac{b+a}{2}\) qui est une valeur approchée de \(x_0\) à \(\frac{b-a}{2}\) près.

Figure Distance entre points de la droite des réels

Droite des réels avec les points \(O\), \(A\) et \(B\).

Propriétés de la valeur absolue

Propriété Calculs sur la valeur absolue

Pour tous réels \(x\) et \(y\), on a :

\(\lvert x\rvert\geq 0\), \(\lvert-x\rvert=\lvert x\rvert\), \(\lvert y-x\rvert=\lvert x-y\rvert\), \(\sqrt{x^2}=\lvert x\rvert\).
\(\lvert x\rvert=0\Longleftrightarrow x=0\).
\(\lvert xy\rvert=\lvert x\rvert\lvert y\rvert\), \(\forall p\in\mathbb{N}^*,\ \lvert x^p\rvert=\lvert x\rvert^p\) et, si \(y\neq 0\), \(\left\lvert\frac{x}{y}\right\rvert=\frac{\lvert x\rvert}{\lvert y\rvert}\).
\(\lvert x\rvert=\lvert y\rvert\Longleftrightarrow x^2=y^2\Longleftrightarrow(x=y\text{ ou }x=-y)\).
Soit \(a>0\). \(\lvert x\rvert\leq a\Longleftrightarrow x^2\leq a^2\Longleftrightarrow-a\leq x\leq a\), et \(\lvert x\rvert\geq a\Longleftrightarrow x^2\geq a^2\Longleftrightarrow(x\leq-a\text{ ou }a\leq x)\).
\(\lvert x+y\rvert\leq\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\).
\(\lvert x-y\rvert\leq\lvert x\rvert+\lvert y\rvert\).

Remarques Remarques

Remarque Inégalités triangulaires généralisées

Plus généralement, on a :

\[\forall n\in\mathbb{N}^*,\ \forall(x_1,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n,\quad \left\lvert\sum_{k=1}^n x_k\right\rvert\leq\sum_{k=1}^n\lvert x_k\rvert\quad\text{et}\quad\left\lvert\prod_{k=1}^n x_k\right\rvert=\prod_{k=1}^n\lvert x_k\rvert\]

Exemple résolu Encadrement d’une expression en valeur absolue réservé aux comptes

Exemple résolu Majoration d’une somme alternée réservé aux comptes

Valeur absolue appliquée à une fonction

Propriété Bornitude de la valeur absolue d’une fonction

Soit \(f\in \mathcal{F}(I,\mathbb{R})\).

La fonction \(\lvert f\rvert\) est majorée si et seulement si \(f\) est bornée.

Exemple résolu Bornitude par étude de la valeur absolue réservé aux comptes